ฉันรู้ว่าเราสามารถใช้เทคนิคการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์ว่า IVP หรือ BVP มีวิธีแก้ปัญหาไม่เหมือนใครและขึ้นอยู่กับขอบเขต / ค่าเริ่มต้นอย่างต่อเนื่อง สำหรับบาง PDE โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ไม่ใช่เชิงเส้น pde ของมันเป็นเรื่องยากมากถ้าไม่เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ว่า posedness มีเทคนิคเชิงตัวเลขใด ๆ ในการตรวจสอบว่าปัญหาเกิดขึ้นจริงหรือไม่?
สามารถใช้รูปแบบเชิงตัวเลขเพื่อกำหนดความเป็นไปได้ที่ดีของปัญหาค่าเริ่มต้นหรือขอบเขตได้หรือไม่?
คำตอบ:
โดยทั่วไปไม่มี บางครั้งการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขสามารถใช้เป็นมาตรการคร่าว ๆ เพื่อระบุว่าเงื่อนไขขอบเขตเพียงพอหรือไม่ในการระบุโดเมน "แบบลอย" แต่มีหลายกรณีที่วิธีการแก้ปัญหาแบบแยกส่วนจะให้ข้อมูลที่ทำให้เข้าใจผิดเกี่ยวกับปัญหาความต่อเนื่อง
Advection-diffusion ต้องการเงื่อนไขขอบเขตในทุกขอบเขต แต่ระบบที่ไม่ต่อเนื่องไม่สามารถใช้เงื่อนไขขอบเขตที่การไหลออก (ไม่ใช่เงื่อนไขของ Neumann ที่เป็นเนื้อเดียวกันฉันหมายถึงไม่มีเงื่อนไขขอบเขต) ไม่เพียงเท่านั้นมันมีความแม่นยำมากกว่าการแสดงสภาพขอบเขตต่อเนื่อง ดูPapanastasiou, Malamataris และ Ellwood 1992และGriffiths 1997สำหรับรายละเอียด เงื่อนไขขอบเขตที่คล้ายกันนอกจากนี้ยังเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการลื่นไถลบนพื้นผิวโค้งดูBehr 2004
"ปรากฏการณ์พลอยสีแดง" ทำให้เกิดวิธีการบางอย่างสำหรับการไหลแบบอัดได้ มันไม่เป็นที่เข้าใจกันมากนัก แต่รูปแบบตัวเลขที่ดูแข็งแกร่งอาจรวมเข้ากับการแก้ปัญหาแบบลวงตา ตัวอย่างจากRobinet และคณะ 2000
โซลูชั่นที่น่าเกรงขามสำหรับการบีบอัด Navier-Stokes ภายในระบอบการปกครองแบบราบเรียบ ตัวอย่างง่ายๆช่องฝาขับเคลื่อนจะได้รับในไกร์และเคลเลอร์ 1983
ระบบของกฎหมายอนุรักษ์ซึ่งเกินความจริงซึ่งมีขนาดสัมพัทธ์ที่ไม่ใช่ทางกายภาพของการกระจายเชิงตัวเลข จำเป็นต้องมีการแจกแจงเชิงตัวเลขบางส่วน แต่วิธีการที่แข็งแกร่ง (เช่น Godunov) สามารถรวมกันเป็นระบบเพื่อผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องหากการกระจายเชิงตัวเลขสิ้นสุดลงซึ่งไม่ใช่ทางกายภาพ ตัวอย่างง่ายๆมีให้ในMishra และ Spinolo 2011เมื่อวิธี Godunov มาตรฐานแปลงเป็นผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องสำหรับน้ำตื้น 1D เชิงเส้น สิ่งนี้นำเสนอตัวเองในรูปแบบที่ลึกกว่าในการจำลองวนขนาดใหญ่ ความหนืดวนวนเป็นการรวมตัวทางกายภาพของเกล็ดย่อย (subgrid scale) แต่ถ้าการกระจายเชิงตัวเลข (หลีกเลี่ยงไม่ได้) มีขนาดใหญ่กว่าการสลายตัวทางกายภาพการจำลองสามารถรวมกันเพื่อผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง ในทางปฏิบัติ subgrid closures สำหรับ eddy viscosity นั้นสำคัญมาก นี่เป็นเรื่องของการ จำกัด เอกพจน์ตามเส้นทางที่ถูกต้อง (ทางกายภาพ)
การล็อคเอฟเฟกต์ในโหมดยืดหยุ่นหรือกระดานหมากรุกในการไหลที่ไม่บีบอัด สิ่งเหล่านี้เกิดจากการเลือกพื้นที่การประมาณที่ไม่เสถียรและตอนนี้มีความเข้าใจเป็นอย่างดีอย่างน้อยสำหรับปัญหาเชิงเส้น แต่การใช้วิธีแก้ปัญหาตัวเลขเพื่ออนุมานความเป็นไปได้ที่ดีอาจนำคุณไปสู่ข้อสรุปว่า