วิธีที่เร็วที่สุดในการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์ทั่วไปคืออะไร

แก้ไข:ฉันกำลังทดสอบว่าค่าลักษณะเฉพาะใดมีขนาดหนึ่งหรือมากกว่า

ฉันต้องการหาค่าลักษณะเฉพาะสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์เบาบางขนาดใหญ่ที่ไม่สมมาตร

ฉันใช้eigen()ฟังก์ชันของ R ซึ่งใช้ QR algo จาก EISPACK หรือ LAPACK เพื่อค้นหาค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดจากนั้นฉันใช้abs()เพื่อรับค่าสัมบูรณ์ อย่างไรก็ตามฉันต้องทำให้เร็วขึ้น

ฉันได้ลองใช้อินเตอร์เฟส ARPACK ในigraphแพ็คเกจ R แล้ว อย่างไรก็ตามมันให้ข้อผิดพลาดสำหรับเมทริกซ์ตัวหนึ่งของฉัน

การดำเนินการขั้นสุดท้ายจะต้องสามารถเข้าถึงได้จากอาร์

อาจมีค่าลักษณะเฉพาะหลายค่าที่มีขนาดเท่ากัน

คุณมีข้อเสนอแนะใด?

แก้ไข: ความแม่นยำจะต้องเป็น1e-11เท่านั้น เป็น "ปกติ" เมทริกซ์ได้รับเพื่อให้ห่างไกล 386 ฉันสามารถทำ QR factorisation กับมันได้ อย่างไรก็ตามมันเป็นไปได้ที่จะมีขนาดใหญ่กว่ามาก ฉันกำลังเริ่มอ่านเกี่ยวกับอัลกอริทึมของ Arnoldi ฉันเข้าใจว่ามันเกี่ยวข้องกับ Lanczsos$386\times 386$

EDIT2:ถ้าฉันมีเมทริกซ์หลายตัวที่ฉัน "ทดสอบ" และฉันรู้ว่ามันมีซับเมทริกซ์ขนาดใหญ่ที่ไม่เปลี่ยนแปลง เป็นไปได้ไหมที่จะเพิกเฉย / ทิ้ง?

มันขึ้นอยู่กับขนาดของเมทริกซ์ของคุณเป็นอย่างมากในกรณีขนาดใหญ่เช่นกันว่าเบาบางและความแม่นยำที่คุณต้องการบรรลุ

หากเมทริกซ์ของคุณใหญ่เกินไปที่จะอนุญาตการแยกตัวประกอบเพียงครั้งเดียวและคุณต้องการความแม่นยำสูงอัลกอริทึม Lanczsos น่าจะเป็นวิธีที่เร็วที่สุด ในกรณีที่ไม่สมมาตรจำเป็นต้องใช้อัลกอริทึมของอาร์โนลดิซึ่งไม่เสถียรเชิงตัวเลขดังนั้นการดำเนินการจำเป็นต้องจัดการกับเรื่องนี้ (ค่อนข้างอึดอัดในการรักษา)

หากนี่ไม่ใช่ปัญหาของคุณโปรดให้ข้อมูลที่เฉพาะเจาะจงกับคำถามของคุณ จากนั้นเพิ่มความคิดเห็นในคำตอบนี้แล้วฉันจะอัปเดต

แก้ไข: [นี่เป็นคำถามรุ่นเก่าที่ให้ค่า eigenvalue มากที่สุด] เนื่องจากเมทริกซ์ของคุณมีขนาดเล็กและหนาแน่นอย่างเห็นได้ชัดฉันจะทำการวนซ้ำของ Arnoldi ใน B = (IA) ^ {- 1} โดยใช้ค่าเริ่มต้น การแยกตัวประกอบแบบสามเหลี่ยมของ IA จะมีการคูณด้วยราคาถูกโดย B. (หรือคำนวณการผกผันอย่างชัดเจน การทำงานกับ B แทน A ค่าลักษณะเฉพาะเชิงลบจะถูกแยกออกจากกันได้ดีกว่ามากดังนั้นหากมีอย่างใดอย่างหนึ่งคุณควรมาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว

แต่ฉันอยากรู้ว่าปัญหาของคุณมาจากไหน เมทริกซ์แบบไม่สมมาตรมักจะมีค่าลักษณะเฉพาะที่ซับซ้อนดังนั้น '' ที่ใหญ่ที่สุด '' จึงไม่ได้กำหนดชัดเจน ดังนั้นคุณต้องรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหาของคุณซึ่งอาจช่วยในการแนะนำวิธีแก้ปัญหาได้เร็วขึ้นและ / หรือเชื่อถือได้มากขึ้น

Edit2: มันเป็นเรื่องยากที่จะได้รับกับ Arnoldi โดยเฉพาะเซตที่น่าสนใจ เพื่อให้ได้ค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดอย่างน่าเชื่อถือคุณต้องทำซ้ำการเว้นวรรคโดยใช้เมทริกซ์ดั้งเดิมโดยมีการจับคู่ขนาดพื้นที่ย่อยหรือเกินจำนวนค่าลักษณะเฉพาะที่คาดว่าจะใกล้เคียงกับ 1 หรือใหญ่กว่า ในเมทริกซ์ขนาดเล็กสิ่งนี้จะช้ากว่าอัลกอริทึม QR แต่บนเมทริกซ์ขนาดใหญ่มันจะเร็วกว่ามาก

$\left|\lambda_{n-1}/\lambda_{n}\right|$

$\lambda_{n-1}$$\lambda_n$

มีการวิจัยที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้เมื่อเร็ว ๆ นี้ วิธีการใหม่ใช้ "อัลกอริธึมแบบสุ่ม" ซึ่งต้องการอ่านเมทริกซ์ของคุณเพียงไม่กี่ครั้งเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่ดีในค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุด สิ่งนี้ตรงกันข้ามกับการทำซ้ำกำลังซึ่งต้องการการคูณเมทริกซ์เวกเตอร์จำนวนมากเพื่อให้ได้ความแม่นยำสูง

คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับงานวิจัยใหม่ได้ที่นี่:

http://math.berkeley.edu/~strain/273.F10/martinsson.tygert.rokhlin.randomized.decomposition.pdf

http://arxiv.org/abs/0909.4061

รหัสนี้จะทำเพื่อคุณ:

http://cims.nyu.edu/~tygert/software.html

https://bitbucket.org/rcompton/pca_hgdp/raw/be45a1d9a7077b60219f7017af0130c7f43d7b52/pca.m

http://code.google.com/p/redsvd/

https://cwiki.apache.org/MAHOUT/stochastic-singular-value-decomposition.html

หากภาษาที่คุณเลือกไม่ได้อยู่ในนั้นคุณสามารถหมุน SVD แบบสุ่มของคุณเองได้อย่างง่ายดาย มันต้องใช้การคูณเวกเตอร์เมทริกซ์เท่านั้นตามด้วยการเรียก SVD แบบนอกชั้นวาง

ที่นี่คุณจะได้พบกับการแนะนำอัลกอริทึมเกี่ยวกับอัลกอริทึม Jacobi-Davidson ซึ่งคำนวณค่าลักษณะเฉพาะสูงสุด

ในบทความนี้มีการสำรวจแง่มุมทางคณิตศาสตร์ JD อนุญาตเมทริกซ์ทั่วไป (จริงหรือซับซ้อน) และสามารถใช้ในการคำนวณช่วงของค่าลักษณะเฉพาะ

ที่นี่คุณสามารถค้นหาการปรับใช้ไลบรารีต่าง ๆ JDQR และ JDQZ (รวมถึงอินเตอร์เฟส C ซึ่งคุณควรจะสามารถเชื่อมโยงจาก R)

ในโพสต์ต้นฉบับของคุณคุณพูดว่า:

"ฉันได้ลองใช้อินเทอร์เฟซ ARPACK ในแพคเกจ igraph R อย่างไรก็ตามมันทำให้เกิดข้อผิดพลาดสำหรับเมทริกซ์ตัวหนึ่งของฉัน"

ฉันสนใจที่จะทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับข้อผิดพลาด หากคุณสามารถทำให้เมทริกซ์นี้เปิดเผยต่อสาธารณะได้ที่ไหนสักแห่งฉันจะลอง ARPACK กับมัน

จากสิ่งที่ฉันได้อ่านไปฉันคาดว่า ARPACK จะทำงานได้ดีมากในการแยกค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุด จะเจาะจงมากขึ้นฉันคาดหวังว่าวิธีการของ Arnoldi จะทำงานได้ดีสำหรับกรณีนี้และแน่นอนว่าเป็นสิ่งที่ ARPACK ใช้

การบรรจบกันอย่างช้าๆของวิธีการใช้พลังงานเมื่อมีค่าลักษณะเฉพาะที่มีระยะห่างใกล้เคียงกันในภูมิภาคที่น่าสนใจดังกล่าวข้างต้น Arnoldi ปรับปรุงสิ่งนี้ด้วยการวนซ้ำหลายเวกเตอร์แทนที่จะเป็นหนึ่งในวิธีกำลังไฟฟ้า

มันไม่ใช่วิธีที่เร็วที่สุดแต่วิธีที่รวดเร็วพอสมควรคือการไปที่เวกเตอร์ (สุ่มเริ่มต้น) ด้วยเมทริกซ์ซ้ำแล้วจึงทำให้เป็นปกติทุก ๆ สองสามขั้นตอน ในที่สุดมันก็จะมาบรรจบกันกับไอเก็นเวกเตอร์ที่ใหญ่ที่สุดและการได้รับมาตรฐานในขั้นตอนเดียวคือค่าไอเกนที่เกี่ยวข้อง

วิธีนี้จะทำงานได้ดีที่สุดเมื่อค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดมีขนาดใหญ่กว่าค่าลักษณะเฉพาะอื่น ๆ หากค่าลักษณะเฉพาะอื่นใกล้เคียงกับขนาดที่ใหญ่ที่สุดจะใช้เวลาสักครู่ในการรวมเข้าด้วยกันและอาจเป็นเรื่องยากที่จะตรวจสอบว่ามีการรวมตัวกันหรือไม่

rARPACK ของแพ็คเกจ R ใช้งานได้สำหรับฉัน และดูเหมือนว่าจะเร็วมากเนื่องจากเป็นเพียงส่วนต่อประสานสำหรับ ARPACK ซึ่งเป็นแพคเกจมาตรฐานสำหรับพีชคณิตเชิงเส้นแบบกระจัดกระจาย