การรวมตัวเลขของฟังก์ชั่นที่รองรับขนาดกะทัดรัดบนสามเหลี่ยม

ตามชื่อเรื่องฉันกำลังพยายามคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันที่รองรับอย่างแน่นหนา (พหุนาม quintic ของเวนด์แลนด์) บนสามเหลี่ยม ขอให้สังเกตว่าศูนย์กลางของฟังก์ชั่นอยู่ที่ใดที่หนึ่งในพื้นที่ 3-D ฉันรวมฟังก์ชั่นนี้เข้าด้วยกัน แต่เป็นรูปสามเหลี่ยมขนาดเล็ก ( ) ฉันกำลังใช้การรวมที่อธิบายโดย Dunavant, 1985 (p = 19)$area < \frac{(radius/4)^2}{2}$

อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่ากฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเหล่านี้ไม่เหมาะกับปัญหาที่ได้รับการสนับสนุนอย่างกะทัดรัด สิ่งนี้ได้รับการสนับสนุนจากความจริงที่ว่าเมื่อฉันรวม (ดังนั้นฟังก์ชั่นที่ 1 ภายในวงกลมรัศมี 1) บนระนาบที่ discretized โดยใช้รูปสามเหลี่ยมผลลัพธ์ (ปกติ) ของฉันอยู่ระหว่าง 1.001 และ 0.897$f(r) = [r\leq1]$

ดังนั้นคำถามของฉันคือมีกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเฉพาะสำหรับปัญหาชนิดนี้หรือไม่? กฎการรวมคอมโพสิตคำสั่งซื้อที่ต่ำลงจะทำงานได้ดีขึ้นหรือไม่

น่าเสียดายที่รูทีนนี้สำคัญมากในโค้ดของฉันดังนั้นความแม่นยำจึงมีความสำคัญ ในอีกทางหนึ่งฉันต้องทำการรวมนี้ "สองสามครั้ง" สำหรับขั้นตอนเดียวดังนั้นค่าใช้จ่ายในการคำนวณไม่ควรสูงเกินไป การทำให้เป็นคู่ขนานไม่ใช่ปัญหาเพราะฉันจะดำเนินการรวมตัวเองเป็นอนุกรม

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับคำตอบของคุณ

แก้ไข: พหุนาม quintic ของเวนด์แลนด์ได้รับจากด้วยและโดยที่r_0เป็นเวกเตอร์โดยพลการใน\ mathbb {R} ^ 3α=$W(q) = [q\leq2]\frac{\alpha}{h^3}(1-\frac{q}{2})^4(2q+1)$$\alpha = \frac{21}{16\pi}$$q=\frac{\|r-r_0\|}{h}$R $r_0$$\mathbb{R}^3$

EDIT2: ถ้า$\Delta$เป็นสามเหลี่ยมสองมิติฉันต้องการคำนวณ$\int_\Delta \omega(r) dr$พร้อม$\omega(r) = W(\frac{\|r-r_0\|}{h})$ . ดังนั้น$q$ใน$W$จะไม่เล็กกว่า 0 โปรดทราบว่าอินทิกรัลคืออินทิกรัลอินทิกรัลเหนือพื้นผิว 2-D ใน$\mathbb{R}^3$

EDIT3: ฉันมีวิธีวิเคราะห์ปัญหา 1-D (บรรทัด) การคำนวณหนึ่งสำหรับ 2-D (สามเหลี่ยม) อาจเป็นไปได้เช่นกัน

เนื่องจากฟังก์ชั่นนั้นราบรื่นภายในแต่ไม่ใช่ระดับคงที่ (ในระนาบนั่นคือ) ฉันขอแนะนำให้ใช้รูปแบบการปรับตัวที่ง่ายเช่นกฎ Trapezoidalกับวิธีของ Romberg$q \leq 2$ทั้งสองมิติ

นั่นคือถ้าสามเหลี่ยมของคุณจะถูกกำหนดโดยจุด ,และและคุณมีงานประจำซึ่งรวมตามแนวจากการที่คุณสามารถทำต่อไปนี้ (ในสัญกรณ์ Matlab):y z ∈ R$x$$y$$z \in \mathbb R^3$romb(f,a,b)fab

int = romb( @(xi) romb( W , xi , y+(z-y)*(xi-x)./(z-x) ) , x , z );

ในrombอย่าใช้จำนวนคะแนนคงที่ แต่ให้เพิ่มจำนวนขึ้นเรื่อย ๆ จนกว่าความแตกต่างระหว่างสองเส้นทแยงมุมต่อเนื่องกันจะต่ำกว่าเกณฑ์ที่คุณต้องการ เนื่องจากฟังก์ชั่นของคุณราบรื่นนี่น่าจะเป็นการประมาณความผิดพลาดที่ดี

หากส่วนต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมอยู่นอกโดเมนของคุณสามารถลองปรับขีด จำกัด ของการรวมในรหัสด้านบนได้$W(q)$

นี่อาจไม่ใช่วิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการแก้ปัญหาของคุณ แต่การปรับตัวจะทำให้คุณมีความแข็งแกร่งมากกว่ากฎตายตัว

สำหรับภาพรวมที่ดีของกฎคิวบ์ดูที่ "R. Cools สารานุกรมสูตร Cubature J. Complexity, 19: 445-453, 2003" การใช้กฎแบบตายตัวสามารถให้ประโยชน์กับคุณที่กฎบางข้อรวมชื่อพหุนามอย่างแน่นอน

Cools ยังเป็นหนึ่งในผู้แต่งหลักของCUBPACKซึ่งเป็นชุดซอฟต์แวร์สำหรับคิวบ์เชิงตัวเลข

กฎการรวมเข้าด้วยกันสันนิษฐานว่าฟังก์ชั่นนั้นมีความใกล้เคียงกับพหุนามในระดับต่ำ ปัญหาของคุณไม่เกี่ยวข้องกับการสนับสนุนที่กะทัดรัด ฟังก์ชันพื้นฐานที่รองรับแนวรัศมีนั้นกะทัดรัดที่ขอบเขตการสนับสนุนและกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจนถึงลำดับความเรียบสามารถใช้งานได้โดยไม่มีปัญหา (กฎลำดับที่สูงกว่าไม่ช่วยได้ดังนั้นคุณอาจไม่ควรใช้กฎที่รวมพหุนามระดับ 5 อย่างแน่นอน)

ในกรณีของคุณไม่ถูกต้องมาจากความจริงที่ว่าข้อสันนิษฐานของ approximability พหุนามดีล้มเหลวในกรณีของคุณสำหรับรูปสามเหลี่ยมใกล้แม้ในขณะที่พวกเขาไม่ได้มีr_0r $r_0$$r_0$

Q Q R R → R 0 R $W$เป็นไปอย่างราบรื่นเป็นหน้าที่ของแต่เป็นฟังก์ชั่นของ nonsmoothกับการไล่ระดับสีที่จะกลายเป็นไม่มีที่สิ้นสุดในวงเงินr_0 บูรณาการที่มีมากกว่าและฟังก์ชั่นคอมโพสิตเป็นฟังก์ชัน nonsmooth ของR$q$$q$$r$$r\rightarrow r_0$$r$$r$

หากรูปสามเหลี่ยมไม่มีฟังก์ชันคือแต่สิ่งนี้ไม่ช่วยเพราะอนุพันธ์ที่สูงกว่านั้นเติบโตใกล้กับอย่างรวดเร็วและความผิดพลาดของวิธีการเรียงลำดับที่สูงนั้นแปรผันกับอนุพันธ์ลำดับสูงดังนั้นจึงมีขนาดใหญ่มาก !C i n f r $r_0$$C^inf$$r_0$

วิธีการรักษาที่ง่ายคือการแบ่งสามเหลี่ยม T แต่ละอันออกเป็นจำนวน N_T ของคำบรรยายย่อย คุณสามารถใช้ห่างไกลจากและใกล้กับr_0คุณสามารถเข้าใจว่าใหญ่สำหรับสามเหลี่ยมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางและระยะทางที่กำหนดจากเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่ต้องการ ยิ่งกว่านั้นคุณควรใช้สูตรที่มีลำดับต่ำใกล้กับเท่านั้นR 0 N T » 1 R 0 N T R 0 R $N_T=1$$r_0$$N_T\gg 1$$r_0$$N_T$$r_0$$r_0$

ในขณะที่คุณบูรณาการมากกว่าสามเหลี่ยม แต่คือ 3 มิติรูปสามเหลี่ยมที่เห็นได้ชัดคือใน 3R $r_0$$R^3$

การรักษาที่เร็วขึ้นจึงจัดระเบียบอินทิกรัลสำหรับเป็นฟังก์ชั่นของพิกัดสามเหลี่ยม (ปรับให้เป็นมาตรฐานโดยการหมุนมันเป็น 2 มิติ -plane เพื่อให้จุดยอดหนึ่งอยู่บน -axis และสะท้อนให้เห็นว่าวินาที จุดสุดยอดอยู่เหนือมัน) ตารางนี้จะต้องมีรายละเอียดเพียงพอที่จะทำให้การแก้ไขเชิงเส้นหรือกำลังสองสมการที่ถูกต้องเพียงพอ แต่คุณสามารถใช้เมธอดช้าที่ระบุไว้ก่อนเพื่อสร้างตารางนี้x y $r_0=0$$xy$$x$

วิธีการกำจัดของปัญหาอีกประการหนึ่งคือการใช้ฟังก์ชั่นได้รับการสนับสนุนดานพื้นฐานรัศมีที่เป็นพหุนามในมากกว่าQนี่คือราบรื่นทุกที่และง่ายต่อการรวม$q^2$$q$