จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าโซลูชันเชิงตัวเลขไปยัง PDE กำลังแปลงเป็นโซลูชันต่อเนื่องหรือไม่?

หละหลวมเท่าเทียมทฤษฎีบทระบุว่าความมั่นคงและเสถียรภาพของโครงการเชิงตัวเลขสำหรับปัญหาค่าเชิงเส้นเริ่มต้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการบรรจบกัน แต่สำหรับปัญหาที่ไม่เชิงเส้นวิธีการเชิงตัวเลขสามารถนำมารวมกันอย่างน่าเชื่อถือมากกับผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องแม้จะมีความสอดคล้องและมีเสถียรภาพ ตัวอย่างเช่นกระดาษนี้แสดงให้เห็นว่าวิธีการสั่งซื้อ Godunov วิธีแรกที่นำไปใช้กับสมการน้ำตื้นเชิงเส้น 1D มาบรรจบกับการแก้ปัญหาที่ไม่ถูกต้อง

เห็นได้ชัดว่าการรวมตัวเองภายใต้ตาข่ายและการปรับแต่งขั้นตอนเวลานั้นไม่เพียงพอ แต่โดยทั่วไปการแก้ปัญหาที่แน่นอนไม่สามารถใช้กับ PDE ที่ไม่เชิงเส้นได้ดังนั้นวิธีการหนึ่งจะกำหนดได้ว่าวิธีการเชิงตัวเลข

pde stability convergence

— เจดบราวน์
แหล่งที่มา

วิธีการที่เรียกว่าวิธีการแก้ไขปัญหาการผลิตทำให้การแก้ปัญหาที่แน่นอนพร้อมใช้งานสำหรับปัญหาทั้งหมด อาจไม่สามารถสร้างวิธีแก้ไขปัญหาที่คุณอธิบายได้ แต่ไม่ใช่กรณีที่ไม่มีวิธีแก้ไขปัญหาที่แน่นอน

— Bill Barth

ฉันคิดว่านี่เป็นเรื่องยากเพราะคุณจะต้องคาดเดาวิธีแก้ปัญหาด้วยความไม่ต่อเนื่องซึ่งไม่ได้รับการยอมรับอย่างดีจากวิธีแก้ปัญหา

— Matt Knepley

ฉันยอมรับว่าเป็นไปได้ยากที่จะผลิตโซลูชันที่ตื่นเต้นกับโหมดปัญหาที่ Jed กล่าวถึง ฉันแค่อยากจะชี้ให้เห็นว่าการแก้ปัญหาที่แน่นอนพร้อมเสมอสำหรับการทดสอบ ฉันไม่รู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณผลิตสารละลายสำหรับสมการน้ำตื้นเชิงเส้น 1D โดยใช้การพูดของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง พวกเขาผ่านโครงการลำดับที่ 1 ของ Godunov บางทีเจดอาจให้ช็อตและรายงานกลับ

— Bill Barth

MoM เป็นเครื่องมือที่ยอดเยี่ยม แต่ในกรณีนี้ปัญหาคือการแพร่กระจายนั้นถูกนำไปใช้ผิด ๆ ภายในการกระแทก ทุกที่อื่นการแพร่เข้าหากันเป็นศูนย์ในแต่ละสมการเท่ากันนั้นเป็นที่ยอมรับ แต่การแพร่ไม่ได้มารวมกันที่ศูนย์ในการกระตุ้น ฉันจะเขียนคำตอบสำหรับคำถามนี้เมื่อฉันมีเวลาถ้าไม่มีใครชนะฉัน

— Jed Brown

@ เจดไม่ควรใช้กับสมการเชิงเส้นตรงหรือไม่

— Matt Knepley

คำตอบ:

มีสองประเภทหลักของการแก้ปัญหาที่จะกล่าวถึงในเรื่องนี้

โซลูชันที่ราบรื่น "เพียงพอ"

ในกระดาษคลาสสิกของ Strangมันแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทความหละหลวมของ Lax (เช่นความคิดที่ว่าความมั่นคงและความมั่นคงหมายถึงการบรรจบกัน) นำไปสู่การแก้ปัญหาแบบไม่เชิงเส้นถ้าพวกมันมีอนุพันธ์ต่อเนื่องจำนวนหนึ่ง โปรดทราบว่ากระดาษนั้นจะมุ่งเน้นไปที่ปัญหาซึ่งเกินความจริง แต่ผลลัพธ์นั้นนำไปสู่ปัญหาพาราโบลา จำนวนอนุพันธ์ที่จำเป็นต้องใช้เป็นจุดทางเทคนิค แต่โดยทั่วไปวิธีนี้จะใช้กับโซลูชั่นที่ตอบสนอง PDE ได้อย่างดีเยี่ยม

โซลูชั่นที่ไม่ต่อเนื่อง

ที่มาก ๆ เรามี PDE "การแก้ปัญหา" กับต่อเนื่องซึ่งมักจะเกิดขึ้นจากกฎหมายอนุรักษ์การผ่อนชำระไม่เชิงเส้น ในสถานการณ์เช่นนี้แน่นอนไม่สามารถพูดได้ว่าแก้ปัญหาเพื่อตอบสนอง PDE ในความรู้สึกที่แข็งแกร่งเพราะมันไม่แตกต่างกันที่จุดหนึ่งหรือมากกว่า จะต้องมีการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับการแก้ปัญหาที่อ่อนแอซึ่งจำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหากฎหมายอนุรักษ์ที่สำคัญ

$L_p$ $L_\infty$

หากลำดับสามารถแสดงให้บรรจบกับบางสิ่งบางอย่างและหากวิธีนี้เป็นแบบอนุรักษ์นิยมทฤษฎีบทของ Lax-Wendroff รับประกันได้ว่ามันจะมาบรรจบกันเพื่อแก้ปัญหาที่อ่อนแอของกฎหมายการอนุรักษ์ อย่างไรก็ตามการแก้ปัญหาดังกล่าวจะไม่ซ้ำกัน การพิจารณาว่าโซลูชันใดที่อ่อนแอ "ถูกต้อง" ต้องการข้อมูลที่ไม่มีอยู่ในไฮเพอร์โบลิก PDE โดยทั่วไปโคนเกินความจริงจะได้รับโดยละเลยแง่รูปโค้งในรูปแบบต่อเนื่องและการแก้ปัญหาที่ถูกต้องที่อ่อนแอจะขึ้นอยู่กับสิ่งที่แง่พาราโบลาถูกโยนทิ้ง (จุดสุดท้ายนี้เป็นจุดสำคัญของกระดาษที่เชื่อมโยงกับในคำถามข้างต้น )

นี่เป็นหัวข้อที่หลากหลายและเกี่ยวข้องและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ยังห่างไกลจากความสมบูรณ์ ส่วนใหญ่มาบรรจบกันพิสูจน์สำหรับปัญหา 1D และพึ่งพาเทคนิคพิเศษ ดังนั้นเกือบทั้งหมดของการแก้ปัญหาการคำนวณที่แท้จริงของกฎหมายอนุรักษ์ซึ่งเกินความจริงซึ่งเกินความจริงในทางปฏิบัติไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยเครื่องมือที่มีอยู่ สำหรับการอภิปรายเชิงปฏิบัติจากมุมมองการคำนวณให้ดูหนังสือของ LeVeque (บทที่ 8, 12 และ 15) สำหรับการรักษาที่เข้มงวดมากขึ้นและมีรายละเอียดผมขอแนะนำDafermos

— เดวิดเคตเชสัน
แหล่งที่มา

ฉันมีส่วนร่วมเล็กน้อยที่นี่นอกเหนือจากที่ชี้ให้เห็นว่าเมื่อใดก็ตามที่วิธีการเชิงตัวเลขมีปัญหากับสมการไฮเปอร์โบลิค (และมาบรรจบกับการแก้ปัญหาที่ผิด) ก็มักจะไม่ได้เกิดจากแรงกระแทก ค่อนข้างพื้นที่ที่พวกเขามีปัญหากับมันเป็นคลื่นที่หายาก - ที่การแก้ปัญหาจะราบรื่น

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

นี่เป็นจุดที่ดีเยี่ยมแม้ว่าจะเป็นมุมฉากของคำถามในแง่ที่เข้มงวด คุณกล่าวถึงปัญหาของการบรรจบกับการแก้ปัญหาที่อ่อนแอที่ถูกต้องซึ่งแน่นอนว่าเป็นปัญหาในทางปฏิบัติมากกว่าการมาบรรจบกับการแก้ปัญหาที่อ่อนแอบางอย่าง

— David Ketcheson