สิ่งที่เกี่ยวกับการประมาณข้อผิดพลาดง่ายๆสำหรับ PDE เชิงเส้น

10

ให้ $\Omega$ จะนูนล้อมรอบหลายเหลี่ยมโดเมน Lipschitz ใน $\mathbb R^2$ ให้ $f \in L^2(\Omega)$ )

$\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

สำหรับการประมาณค่าไฟไนต์เอลิเมนต์พูดด้วยองค์ประกอบที่จุดบนกริดสม่ำเสมอ $u_h$

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

ดูเหมือนว่า (บางทีฉันผิดกับเรื่องนั้น) ที่คนมักจะไม่ใช้การประเมินข้อผิดพลาดที่เห็นได้ชัด

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

ซึ่งเราสามารถหาได้โดยการรวมกันของความไม่เท่าเทียมกันสองข้อข้างต้น แต่ทว่าตัวประเมินข้อผิดพลาดด้านหลังนั้นได้รับการพัฒนาในรูปแบบต่าง ๆ แทน ข้อคัดค้านเพียงข้อเดียวที่ฉันสามารถจินตนาการได้จากสมการข้างต้นคือค่าคงตัวในทางปฏิบัติอาจจะมองโลกในแง่ร้ายเกินไปหรือไม่สามารถประมาณค่าได้อย่างน่าเชื่อถือ $C$

pde finite-element error-estimation

— shuhalo
แหล่งที่มา

8

เหตุผลที่ผู้คนต้องการใช้การประเมินครั้งแรกในความคิดของฉันคือสิ่งแรกที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติจาก Galerkin orthogonality ของ FEM การประมาณค่าการประมาณค่าและที่สำคัญที่สุดคือการบีบบังคับของรูปแบบสมการของปัวซอง มันเทียบเท่ากับPoincaré / Friedrichs ที่ไม่เท่ากันสำหรับฟังก์ชั่น): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ ยู - {ยู}_{ชั่วโมง} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq ค_{1} ‖ \nabla (ยู - {ยู}_{ชั่วโมง}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (ยู - {ยู}_{ชั่วโมง}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (ยู - {ยู}_{ชั่วโมง}) \cdot \nabla (ยู - {ยู}_{ชั่วโมง}) \\ = \int_{Ω} \nabla (ยู - {ยู}_{ชั่วโมง}) \cdot \nabla (ยู - ผม ยู) \\ \leq ‖ \nabla (ยู - {ยู}_{ชั่วโมง}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (ยู - ผม ยู) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (ยู - {ยู}_{ชั่วโมง}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (ยู - ผม ยู) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq ค_{2} ชั่วโมง ‖ ยู ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ ที่

ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ในความไม่เท่าเทียมกันPoincaré / Friedrichs สำหรับ

ฟังก์ชั่น

เป็น การแก้ไขของ

ในพื้นที่องค์ประกอบ จำกัด และ

ขึ้นอยู่กับมุมต่ำสุดของตาข่าย

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$

ในขณะที่การประเมินความสม่ำเสมอของรูปไข่ เป็นเพียงในระดับ PDE ไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับการประมาณและการโต้แย้งเหนือแม้เมื่อคือ การกระจาย $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

ตอนนี้ไปยังเหตุผลที่ว่าทำไมการประมาณการข้อผิดพลาดหลังใช้กันอย่างแพร่หลายส่วนใหญ่เป็นเพราะ:

มันสามารถคำนวณได้ไม่มีค่าคงที่ทั่วไปในการแสดงออกของการประมาณการ
ตัวประมาณมีรูปแบบโลคัลซึ่งอาจเป็นตัวบ่งชี้ข้อผิดพลาดโลคัลที่ใช้ในกระบวนการกลั่นตาข่ายแบบปรับตัว ดังนั้นปัญหาเกี่ยวกับภาวะเอกฐานหรือรูปทรงที่ "ไม่ดี" จริง ๆ สามารถจัดการได้

ทั้งการคาดคะเนประเภทเบื้องต้นที่คุณระบุไว้นั้นถูกต้องพวกเขาให้ข้อมูลเกี่ยวกับคำสั่งของการบรรจบกัน แต่เราไม่สามารถเป็นตัวบ่งชี้ข้อผิดพลาดในท้องถิ่นสำหรับรูปสามเหลี่ยม / เตตที่มีรูปร่างเพราะทั้งสองแบบนั้นไม่สามารถคำนวณได้เนื่องจากค่าคงที่ และไม่ได้กำหนดไว้ในเครื่อง

แก้ไข: สำหรับมุมมองทั่วไปของ FEM สำหรับ PDEs รูปไข่ฉันขอแนะนำให้อ่านบทที่ 0 ในหนังสือของ Brenner และ Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methodซึ่งประกอบด้วยเพียง 20 หน้าและครอบคลุมสั้น ๆ เกือบทุกแง่มุมของวิธีองค์ประกอบไฟไนต์ จากการกำหนด Galerkin จาก PDE ถึงแรงจูงใจว่าทำไมเราจึงต้องการใช้ FEM แบบปรับตัวเพื่อจัดการปัญหาบางอย่าง หวังว่านี่จะช่วยคุณได้มากกว่านี้

— Shuhao Cao
แหล่งที่มา

1

$C$

‖ \nabla อี ‖_{L_{2}} \leq ค ชั่วโมง | ยู |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา