แนวทางสำหรับผู้มีเงื่อนไขเบื้องต้นซ้อนกัน

พิจารณาสถานการณ์ที่คุณต้องการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นโดยใช้วิธี Krylov ที่มีเงื่อนไขก่อนหน้า แต่การใช้ตัวช่วยล่วงหน้านั้นเกี่ยวข้องกับการแก้ไขระบบเสริมซึ่งทำด้วยวิธี Krylov ที่มีเงื่อนไขก่อนอื่น

• ในหนึ่งครั้งคุณสามารถเรียกใช้การแก้ปัญหาภายในเพื่อรวมกันในแต่ละขั้นตอนของการแก้ปัญหาด้านนอก

• ในสุดโต่งอื่น ๆ คุณไม่สามารถแก้ปัญหาภายในได้เลย แต่แทนที่มันด้วยอุปกรณ์ปรับสภาพชั้นในแทน

• อยู่ตรงกลางคุณสามารถตัดทอนลูป Krylov ด้านในหลังจากทำซ้ำจำนวนคงที่หรือหลังจากความอดทนที่แน่นอน

สังเกตุฉันได้เจอสถานการณ์ที่รุนแรงครั้งแรกดีกว่าและสถานการณ์ต่าง ๆ ที่รุนแรงที่สุดที่สองจะดีกว่า (ในแง่ของต้นทุนทั้งหมด) อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถหาเหตุผลที่ชัดเจนว่าทำไมบางสถานการณ์จึงชอบกลยุทธ์หนึ่งมากกว่าอีกกลยุทธ์หนึ่ง

มีแนวทางหรือทฤษฎีเกี่ยวกับเมื่อกลยุทธ์ที่แตกต่างเหล่านี้จะดีกว่า?

คำถามนี้เปิดมาเป็นเวลานาน แต่ฉันคิดว่ามันสมควรที่จะได้รับคำตอบ

ปัญหาพื้นฐานที่มีการใช้ Krylov-space solver บนบล็อกแต่ละตัวเป็นปัจจัยพื้นฐานภายในคือพวกมันไม่ใช่ตัวดำเนินการเชิงเส้น เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้เราจะแสดงโดยเวกเตอร์ที่คุณได้รับเป็นวิธีแก้ปัญหาด้วยการรัน Krylov space methodบนระบบเชิงเส้นสำหรับการวนซ้ำส่วนใหญ่หรือจนกว่าจะมีความอดทนถึงใช้ preconditioner1} ในคำอื่น ๆ ที่คุณสามารถคิดเป็นผู้ประกอบการที่ทำหน้าที่ในข$\tilde x = K(A,P,\tau,N; b)$$K$$Ax=b$$N$$\tau$$P\approx A^{-1}$$K$$b$

ตอนนี้ทราบว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น: มันจะต้องมีการแก้ไขอย่างแน่นอนนั่นคือซึ่งเป็นเส้นตรงในขในหลายกรณีการทำงานวิธีการพื้นที่ Krylov สำหรับตรงหนึ่งย้ำเริ่มต้นจากศูนย์เวกเตอร์นี้ยังมีผู้ประกอบการเชิงเส้นนำไปใช้กับขแต่เนื่องจากลำดับของเวกเตอร์ Krylov ขึ้นอยู่กับส่วนที่เหลือเริ่มต้น , ตัวดำเนินการโดยทั่วไปไม่ใช่ ผู้ประกอบการเชิงเส้นสำหรับ จำกัดและ\$K(A,P,0,\infty;\cdot)$$Ax=b$$K(A,P,0,\infty;b)=A^{-1}b$$b$$b$$r^{(0)}=b-Ax^{(0)}$$K(A,P,\tau,N; \cdot)$$N$$\tau$

สิ่งนี้หมายความว่าถ้าคุณใช้เป็นส่วนหนึ่งของ preconditioner สำหรับระบบเชิงเส้นที่เป็นหนึ่งบล็อกคุณจะจบลงด้วย preconditioner ที่ไม่ทำหน้าที่เป็น ผู้ประกอบการเชิงเส้น$K(A,P,\tau,N; \cdot)$$A$

ตรงกันข้ามกับวิธีอื่น ๆ ที่ใช้ในการกำหนดเงื่อนไขล่วงหน้าตัวอย่างเช่นขั้นตอน SSOR หนึ่งขั้นตอนเป็นการดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ที่คุณใช้เช่นเดียวกับวิธีอื่นทั้งหมดที่ใช้ขั้นตอนเดียวของการทำซ้ำจุดคงที่

ปัญหาพื้นฐานในขณะนี้คือวิธีการพื้นที่ Krylov ส่วนใหญ่ต้องการให้ผู้กำหนดเงื่อนไขเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น พวกมันจะไม่มาบรรจบกันถ้าผู้สร้างเงื่อนไขไม่ใช่เชิงเส้นอธิบายการสังเกตของคุณ ในทางกลับกันมีวิธีการพื้นที่ Krylov บางรูปแบบซึ่งมักจะนำหน้าด้วยคำว่า "ยืดหยุ่น" เช่น F-GMRES ใน "ยืดหยุ่น GMRES" - ซึ่งทำงานรอบนี้และสามารถจัดการกับสิ่งที่จำเป็นต้องมีก่อนได้ ผู้ประกอบการ ตัวแปรที่ยืดหยุ่นเหล่านี้ของวิธีการดั้งเดิมจะยังคงมาบรรจบกันและมักจะเป็นวิธีที่ทรงพลังเมื่อรวมกับปัจจัยพื้นฐานที่ดี (แต่ไม่เชิงเส้น)