การค้นหาสแควร์รูทของเมทริกซ์ Laplacian

11

สมมติว่าเมทริกซ์ต่อไปจะได้รับ กับ transpose ของTผลิตภัณฑ์ให้ผลตอบแทน , $A$

[\begin{array}{ccc} 0.500 & - 0.333 & - 0.167 \\ - 0.500 & 0.667 & - 0.167 \\ - 0.500 & - 0.333 & 0.833 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc} 0.500 & -0.333 & -0.167\\ -0.500 & 0.667 & -0.167\\ -0.500 & -0.333 & 0.833\end{array}\right]$

A^{T}

$A^T$

A^{T} A = G

$A^TA=G$

[\begin{array}{ccc} 0.750 & - 0.334 & - 0.417 \\ - 0.334 & 0.667 & - 0.333 \\ - 0.417 & - 0.333 & 0.750 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc}0.750 & -0.334 & -0.417\\ -0.334 & 0.667 & -0.333\\ -0.417 & -0.333 & 0.750\end{array}\right]$

ที่เป็นเมทริกซ์ Laplacian โปรดทราบว่าเมทริกซ์และเป็นอันดับ 2 กับศูนย์ eigenvalue สอดคล้องกับวิคเตอร์ T $G$ $A$ $G$ $1_n=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\end{array}\right]^T$

ฉันสงสัยว่าจะเป็นวิธีที่จะได้รับถ้าเพียงจะได้รับ ฉันพยายาม eigendecomposition แล้วชุดแต่ได้รับผลที่แตกต่างกัน ฉันเดาว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการขาดอันดับ มีคนอธิบายเรื่องนี้ได้ไหม เห็นได้ชัดว่าตัวอย่างด้านบนเป็นภาพประกอบ คุณสามารถพิจารณาการสลายตัวเมทริกซ์ Laplacian ทั่วไปของรูปแบบข้างต้น $A$ $G$ $G=UEU^T$ $A'=UE^{1/2}$

เนื่องจากตัวอย่างเช่นการสลายตัวของ Cholesky สามารถใช้ในการค้นหาการสลายตัวของสามารถให้วิธีการแก้ปัญหามากมาย ฉันสนใจในการแก้ปัญหาที่อาจจะแสดงเป็นที่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์, และเป็นเวกเตอร์บางอย่างที่น่าพอใจ $G=LL^T$ $G$

A = (I - 1_{n} w^{T}),

$A=(I-1_nw^{T}),$

I

$I$

3 \times 3

$3\times 3$

1_{n} = [1 1 1]

$1_n=[1~ 1~ 1]$

w

$w$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$ . ถ้ามันช่วยลดความซับซ้อนของเรื่องคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่ารายการของ

เป็นค่าลบ

w

$w$

linear-algebra matrix eigensystem

— usero
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าความคิดเห็นที่คุณเพิ่มเกี่ยวกับการเป็นตัวแทนของ

มีประโยชน์เพียงบางส่วนเท่านั้น สันนิษฐานว่ามีค่าไอเคิลหนึ่งค่าเท่ากับศูนย์ แต่ค่าที่ไม่แน่นอนมีอยู่เสมอใช่ไหม?

A

$A$

— Wolfgang Bangerth

@ WolfgangBangerth ฉันพยายามหาความหมายของ "ไม่ใช่ปัจจัย" ถ้าเป็น

ก็ถือสำหรับตัวอย่างข้างต้นและผมไม่แน่ใจว่ามันสามารถทั่วไปสำหรับ

T

อย่างไรก็ตามยกเว้น

ฉันสงสัยว่าโซลูชันจะมีอยู่เสมอ

d e t (A) = 0

$det(A)=0$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

n = 3

$n=3$

— usero

ไม่สิ่งที่ฉันหมายถึงคือการแก้ปัญหาของคุณไม่ได้รับการพิจารณาโดยเฉพาะ ฉันชี้ให้เห็นถึงความจริงที่ว่าเมทริกซ์มีค่าเป็นศูนย์หรือไม่ไม่ได้เปลี่ยนความจริงที่ว่าปัญหารากที่สองนั้นไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน

— Wolfgang Bangerth

11

$G=A^TA$ $\lambda_0\leq\lambda_1\leq\ldots\leq \lambda_n$ $G\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $\lambda_0 = 0$ $G$

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}],

$A=\left[\!\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\!\right],$

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin θ & \cos θ \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & \sin θ \\ 0 & \cos θ \end{array}] = L L^{T} .

$A=\left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\right] = \left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \!\right] \left[\!\begin{array}{cc} 0 & \sin\theta \\ 0 & \cos\theta \end{array} \!\right]=LL^T.$

$G$ $G$ $A$ $G\in\mathbb{R}^{4\times 4}$

G = [\begin{array}{cccc} 3 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right]$

A

$A$

m

$m$

n

$n$

A

$A$

m \times n

$m\times n$

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array}

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right.$

e = (v, w)

$e=(v,w)$

v

$v$

w

$w$

G

$G$

A = [\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}],

$A = \left[\!\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\!\right],$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

ปรับปรุง:

$N$ $M$ $G$ $G=N-M$

G = [\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right] - \left[\!\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

A

$A$

A

$A$

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array} .

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right..$

e_{1}

$e_1$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

A_{e_{1}, v_{1}}

$A_{e_1,v_1}$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v < w

$v<w$

A_{e v}

$A_{ev}$

A_{e_{1}, v_{1}} = 1

$A_{e_1,v_1} = 1$

A_{e_{1}, v_{2}} = - 1

$A_{e_1,v_2} = -1$

A

$A$

A = \begin{array}{ccccc} v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} \\ e_{1} & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ e_{2} & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ e_{3} & 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array} .

$A = \begin{array}{c|cccc} & v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ \hline e_1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ e_2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ e_3 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}.$

$Gr$ $V$ $E$

w : V \times V \to R^{+},

$w: V\times V\rightarrow \mathbb{R}^+,$

u

$u$

v

$v$

w (u, v)

$w(u,v)$

u \in V

$u\in V$

u

$u$

d_{u} = \sum_{v \in V} w (u, v) .

$d_u = \sum_{v\in V}w(u,v).$

G r

$Gr$

A d (G r)

$Ad(Gr)$

n \times n

$n\times n$

V

$V$

w (u, v)

$w(u,v)$

D (G r)

$D(Gr)$

V

$V$

G

$G$

G = D (G r) - A d (G r) .

$G = D(Gr) - Ad(Gr).$

G = [\begin{array}{ccc} \frac{3}{4} & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{12} & - \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{12} \\ -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} \\ -\tfrac{5}{12} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{3}{4} \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

A

$A$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$

A

$A$

A

$A$

A d (G r)

$Ad(Gr)$

G

$G$

G = [\begin{array}{ccc} \frac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{11}{12} \end{array}] - [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{5}{12} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array}] = D (G r) - A d (G r) .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac{11}{12} \\ \end{array}\!\right]-\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{12} \\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\ \tfrac{5}{12} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \\ \end{array}\!\right] = D(Gr)-Ad(Gr).$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v_{3}

$v_3$

1 / 2

$1/2$

1 / 3

$1/3$

1 / 6

$1/6$

w

$w$

[\frac{1}{2}

$[\frac{1}{2}$

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$

\frac{1}{6}]^{T}

$\frac{1}{6}]^T$

A

$A$

A = I - 1_{n} w^{T} = [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{5}{6} \end{array}] .

$A = I-1_nw^T = \left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{6} \\ \end{array}\!\right].$

$A$

— Andrew Winters
แหล่งที่มา

A

$A$

G

$G$

O (n^{2})

$O(n^2)$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

1

G

$G$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

G

$G$

G = A^{T} A = (I - 1_{n} w^{T})^{T} (I - 1_{n} w^{T})

$G=A^TA=(I-1_nw^T)^T(I-1_nw^T)$

9

$A$ $B$

B^{2} = A,

$B^2 = A,$

$C$

C^{H} C = A,

$C^H C = A,$

$C \mapsto Q C$ $Q$

สุดท้ายเราสามารถกำหนดเมทริกซ์สแควร์รูทเฉพาะของเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอนแบบ Hermitian ได้อย่างสร้างสรรค์ผ่านการสลายตัวของค่าเฉพาะ

A = U Λ U^{H},

$A = U \Lambda U^H,$

$U$ $\Lambda$ $A$

B = U \sqrt{Λ} U^{H} .

$B = U \sqrt{\Lambda} U^H.$

— แจ็คโพลสัน
แหล่งที่มา

A

$A$

6

G = A^{T} A .

$G = A^T A.$

G

$G$

G

$G$

G = L^{T} L

$G=L^TL$

A = L

$A=L$

A

$A$

G

$G$ และหากคุณต้องการมีคำถามใดคำถามหนึ่งคุณจะต้องใช้คำถามใหม่ในลักษณะที่คุณระบุคุณสมบัติโครงสร้างของ "สาขา" ของสแควร์รูทที่คุณสนใจ

ฉันจะบอกว่าสถานการณ์นี้ไม่แตกต่างกันในการหาสแควร์รูทในจำนวนจริงโดยใช้จำนวนเชิงซ้อน: นั่นก็โดยทั่วไปแล้วคุณมีสองรากและคุณต้องบอกว่าคุณต้องการคำตอบที่ไม่เหมือนใคร

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

คุณพูดถูก อีกวิธีหนึ่งก็คือวิธีการสลายตัวของสเปกตรัมตามที่ฉันกล่าวไว้ข้างต้น ฉันได้ทำการแก้ไขเพื่อทำให้โซลูชันไม่ซ้ำใคร หวังว่ามันจะไม่ทำให้เรื่องยุ่งยาก

— usero

การแก้ปัญหาที่มีข้อ จำกัด ที่ฉันให้ไว้ข้างต้นมีอยู่เสมอหรือไม่? บางทีมันอาจจะมีไว้สำหรับบางกรณีเท่านั้นและไม่ใช่โดยทั่วไป

— usero

ที่จริงแล้ว Cholesky ไม่สามารถใช้งานได้ในกรณีของเขาเนื่องจากจำเป็นต้องให้เมทริกซ์นั้นเป็นบวกแน่นอน

— Jack Poulson

4

$LDL^{T}$ $\hat{D} = \sqrt{D}$ $G = L\hat{D}$

— วิลโลว์
แหล่งที่มา

L D L^{T}

$LDL^T$

1

@ JackPoulson ฉันลองเมทริกซ์เอกพจน์ A ใน matlab และรัน ldl มันใช้งานได้ ค่าศูนย์เป็นศูนย์สอดคล้องกับศูนย์ในแนวทแยงของ D.

— Willowbrook

2

L D L^{T}

$LDL^T$

P A P^{'} = L D L^{T}

$PAP'=LDL^T$

D

$D$

2 \times 2

$2 \times 2$