FEM: ภาวะเอกฐานของเมทริกซ์ความแข็ง

ฉันกำลังแก้สมการอนุพันธ์ กับเงื่อนไขเริ่มต้น , 0 ที่นี่เป็นพารามิเตอร์ ในรูปแบบโอเปอเรเตอร์เราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธ์เป็นโดยที่โอเปอเรเตอร์นั้นเป็นค่าบวกแน่นอน

{(σ^{2} (x) u^{″} (x))}^{″} = f (x), 0 ⩽ x ⩽ 1

$\left( \sigma^{2}(x) u ''(x) \right)'' = f(x), \;\;\; 0 \leqslant x \leqslant 1$

u (0) = u (1) = 0

$u(0) = u(1) = 0$

u^{″} (0) = u^{″} (1) = 0

$u''(0) = u''(1) = 0$

σ (x) ⩾ σ_{0} > 0

$\sigma(x) \geqslant \sigma_{0} > 0$

A u = f

$Au = f$

A

$A$

จากรูปแบบ FEM ฉันลดปัญหาของฉันไปที่ปัญหาการปรับให้เหมาะสม

J (u) = (A u, u) - 2 (f, u) \to min_{u}

$J(u) = (Au,u) - 2(f,u) \to \min_{u}$ ฉันแนะนำองค์ประกอบที่แน่นอน

h_{k} (x)

$h_{k}(x)$ เป็น

v_{k} (x) = {\begin{aligned} 1 - {(\frac{x - x_{k}}{h})}^{2}, & x \in [x_{k - 1}, x_{k + 1}] \\ 0, & otherwise \end{aligned}

$v_{k}(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 - \left( \frac{x-x_{k}}{h} \right)^2, & x \in [x_{k-1},x_{k+1}] \\ 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.$ สำหรับการใด ๆ

k = 1, \dots, n - 1

$k = 1,\ldots,n-1$ ที่

x_{k} = h k

$x_{k} = hk$ ,

h = \frac{1}{n}

$h = \frac{1}{n}$ {n} องค์ประกอบ จำกัด

v_{0} (x)

$v_{0}(x)$ และ

v_{n} (x)

$v_{n}(x)$ ถูกนำมาใช้ในทำนองเดียวกัน

ฉันพยายามหาตัวเลขเวกเตอร์ $\alpha$ เช่นนั้นที่ $u(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} v_{k}(x)$ แก้ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด เรามี

J (u) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n} α_{i} α_{j} (A v_{i}, v_{j}) - \sum_{i = 0}^{n} 2 α_{i} (v_{i}, f) = α^{T} V α - 2 α^{T} b \to min_{α},

$J(u) = \sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} (Av_{i},v_{j}) - \sum\limits_{i=0}^{n} 2\alpha_{i} (v_{i},f) = \alpha^{T} V \alpha - 2\alpha^{T} b \to \min\limits_{\alpha},$ ที่

b_{i} = (f, v_{i})

$b_{i} = (f,v_{i})$ และ

V_{i, j} = (A v_{i}, v_{j})

$V_{i,j} = (Av_{i},v_{j})$ {J}) หลังจากสร้างความแตกต่างด้วยความเคารพ

α

$\alpha$ ฉันได้รับ

V α = b,

$V\alpha = b,$ แต่ที่นี่เมทริกซ์ความแข็ง

V

$V$ เป็นเอกพจน์ แล้วฉันต้องทำยังไงดี? บางทีฉันต้องเลือกองค์ประกอบ จำกัด อื่น ๆ

finite-element

— ? Appliqu
แหล่งที่มา

สวัสดีนิมซาคุณมีปัญหาการทดสอบที่คุณรู้วิธีแก้ปัญหาที่แน่นอน? ถ้าใช่ลองแก้ไขก่อนเพื่อทดสอบว่าพื้นฐานของคุณถูกต้องภายในโดเมนหรือไม่หากทุกอย่างดูถูกต้องอาจเป็นว่า BC ที่วางไม่ถูกต้องทำให้เมทริกซ์เอกพจน์ แต่ BC ดูเหมือนว่าฉันจะตกลง

V^{T} V α = V^{T} b

$V^T V \alpha = V^T b$

— Shuhao Cao

คำตอบ:

เพื่อลดโอกาสในการ

พื้นฐานที่ไม่ถูกต้อง จากคำอธิบายของคุณดูเหมือนว่าคุณมีฟังก์ชั่นสมการกำลังสองอย่างแน่นอนพร้อมการสนับสนุนในแต่ละองค์ประกอบ พื้นที่นั้นไม่ใช่พาร์ติชันของความสามัคคีและไม่ใช่ (อนุพันธ์อันดับหนึ่งอย่างต่อเนื่อง) ในการแยกแยะปัญหาลำดับที่สี่ของคุณโดยตรง (แทนที่จะลดลงในระบบของสมการลำดับที่สองเช่น) คุณจะต้องมีพื้นฐานโปรดทราบว่าพื้นฐานควรจะสามารถทำซ้ำฟังก์ชันเชิงเส้นทั้งหมดได้อย่างแน่นอน $C^1$ $C^1$ $C^1$
เงื่อนไขขอบเขตไม่เพียงพอ สิ่งนี้จะชัดเจนมากหากคุณคำนวณและพล็อตพื้นที่ว่าง
แอสเซมบลีไม่ถูกต้อง ตรวจสอบแผนที่จากองค์ประกอบไปยังการสั่งซื้อแบบประกอบเพื่อยืนยันว่าเป็นสิ่งที่คุณคาดไว้ตัวอย่างเช่นไม่ได้เปลี่ยนทิศทางขององค์ประกอบ
แอสเซมบลีท้องถิ่นไม่ถูกต้อง ใน 1D คุณสามารถวิเคราะห์ว่าเมทริกซ์ความมั่นคงขององค์ประกอบมีลักษณะอย่างไร (อาจเป็นกรณีที่ง่ายกว่า) และตรวจสอบว่าโค้ดทำซ้ำได้หรือไม่

— เจดบราวน์
แหล่งที่มา

ขอบคุณ. 1. ฉันคิดว่าฉันจะต้องมีพื้นฐานเพราะDX แล้วถ้าผมคิดว่าฟังก์ชั่นเดียวที่ตอบสนองเงื่อนไขขอบเขตแล้ว\}

C^{2}

$C^2$

(A u, v) = \int_{0}^{1} σ^{2} (x) u^{″} (x) v^{″} (x) d x

$(Au,v) = \int_{0}^{1} \sigma^{2}(x) u''(x) v''(x) dx$

\ker A = {0}

$\ker A = \{ 0 \}$

— Appliqué

พื้นฐานก็เพียงพอที่จะต้อง integrand จะไม่ต่อเนื่อง โปรดทราบว่าเงื่อนไขขอบเขตของอนุพันธ์อันดับสองจะกลายเป็นอินทิกรัลขอบเขต คุณสามารถใช้พื้นฐานสำหรับการแยกแยะปัญหาคำสั่งที่สี่โดยตรง แต่คุณจะต้องรวมคำศัพท์การกระโดดเช่นเดียวกับวิธี Galerkin ที่ไม่ต่อเนื่องสำหรับระบบลำดับที่หนึ่งและที่สอง มันไม่ใช่วิธีที่ไม่ดี แต่มีความซับซ้อนโดยไม่จำเป็นใน 1D เพราะมันง่ายมากที่จะสร้างฐานที่มีลำดับความต่อเนื่อง (เช่นเส้นโค้ง) บทความนี้เป็นตัวอย่างของ " DG"

C^{1}

$C^1$

C^{0}

$C^0$

C^{0}

$C^0$

— Jed Brown

ตกลง. ฉันแก้ไขพื้นฐานของฉันแล้ว: ตอนนี้ในและn-1 ตอนนี้มันเป็น 1 แต่วิธีการยังคงไม่ทำงาน

v_{k} (x) = \cos^{2} (\frac{π}{2 h} (x - x_{i}))

$v_{k}(x) = \cos^2 \left(\frac{\pi}{2h}(x-x_{i}) \right)$

[x_{i - 1}, x_{i + 1}]

$[x_{i-1},x_{i+1}]$

i = 1, \dots, n - 1

$i = 1,\ldots,n-1$

C^{1}

$C^1$

— Appliqué

พื้นฐานควรจะสามารถที่จะทำซ้ำเชิงเส้นฟังก์ชั่น แต่ตอนนี้ไม่สามารถ เมื่อคุณแก้ไขแล้วให้ตรวจสอบว่าอินทิกรัลกำลังทำงานอย่างถูกต้องจากนั้นตรวจสอบเงื่อนไขขอบเขต

C^{1}

$C^1$

— Jed Brown

เห็นได้ชัดว่าปัญหามีอนุพันธ์เพื่อ ODD โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับหมายเลขPécletที่ใหญ่กว่าเมทริกซ์ความแข็งอาจไม่รักษารูปร่าง 'ดี' ซึ่งสร้างศูนย์ในระหว่างการชุมนุมและด้วยเหตุนี้จึงได้รับเอกพจน์หรือบางครั้งมีปัจจัยขนาดเล็กมากที่สังเกตเห็นได้โดยการแกว่งในโซลูชั่นพล็อต

การแก้ปัญหาแบบนี้คือการใช้บทลงโทษในวิธีอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี้เรียกว่าวิธีเปตรอฟ-Galerkin

ขออภัยในความเข้าใจภาษาอังกฤษที่ไม่ดีของฉัน

— Sohail Ahmed
แหล่งที่มา