มีข้อสรุปทั่วไปของกฎหมายความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์สำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปที่สมมาตรหรือไม่?

ฉันรู้ว่าเพื่อที่จะแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะแบบสมมาตร $Ax = \lambda x$เราสามารถใช้กฎหมายความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์นั่นคือจำนวนค่าลักษณะเฉพาะของ $A$ น้อยกว่า $a$ เท่ากับจำนวนรายการเชิงลบของ $D$ เมทริกซ์แนวทแยง $D$ มาจากการแยกตัวประกอบของ LDL $A-aI = LDL^{T}$. จากนั้นโดยวิธีการแบ่งครึ่งเราสามารถหาค่าลักษณะทั้งหมดหรือบางค่าได้ตามต้องการ ฉันต้องการที่จะรู้ว่าถ้ามีข้อสรุปทั่วไปของกฎหมายความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์สำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปที่สมมาตรนั่นคือการแก้ปัญหา$Ax= \lambda Bx$ที่ไหน $A$ และ $B$เป็นเมทริกซ์สมมาตร ขอบคุณ

ใช่ถ้าดินสอชัดเจนเช่นถ้า $A$ และ $B$ เป็นคน Hermitian และ $B$เป็นบวกแน่นอน จากนั้นลายเซ็นต์ของ$A-\sigma B$ มีการตีความเหมือนกันสำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ $(A-\lambda B)x=0$ ดังเช่นในกรณี $B=I$. ผลทั่วไปมากขึ้นของประเภทนี้ถือเป็นปัญหาค่าไม่เชิงเส้นที่แน่นอนใด ๆ$A(\lambda)x=0$. ดูส่วนที่ 5.3 ของหนังสือของฉัน

Arnold Neumaier, การวิเคราะห์เชิงตัวเลขเบื้องต้น, Cambridge Univ กด, Cambridge 2001

สำหรับ $(A-\lambda B)x=0$หลักฐานการยืนยันของฉันสามารถสรุปได้จากการโต้แย้งที่ Jack Poulson ให้ไว้เมื่อสังเกตเห็นว่า $C-\sigma I$ และ $A-\sigma B$ มีความสอดคล้องกันดังนั้นจึงมีความเฉื่อยเหมือนกัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราสามารถคำนวณความเฉื่อยของ $A-\sigma B$และไม่ต้องการการแยกตัวประกอบของ Cholesky $B$ ในรูปแบบ $C$. แน่นอนถ้า$B$ เป็นเงื่อนไขที่ไม่ดีจากนั้นการก่อตัวของตัวเลข $C$ ลดคุณภาพของการทดสอบความเฉื่อย

ในกรณีที่ $B$ คือ Hermitian และ positive-definite ซึ่งเป็นตัวประกอบของ Cholesky $B$, พูด $B = L L^H$ให้ที่

และสมการนี้สามารถจัดการเพื่อแสดงให้เห็นว่า

มันควรจะชัดเจนตรงไหน $C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ รักษาความสมมาตรของ $A$และยังมีสเปกตรัมเดียวกันกับดินสอ $(A,B)$. ดังนั้นหลังจากการขึ้นรูป$C$ด้วยการแยกตัวประกอบ Cholesky ตามด้วยการแก้ปัญหารูปสามเหลี่ยมสองด้านคุณสามารถใช้กฎหมายความเฉื่อยของ Sylvester โดยตรงกับ$C$ เพื่อรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะของดินสอ $(A,B)$.

โปรดทราบว่าเนื่องจากกฎของความเฉื่อยของ Sylvester นั้นไม่เปลี่ยนแปลงด้วยความเคารพต่อการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันเช่น$S \cdot S^H$แล้วเมทริกซ์ $C$ สอดคล้องกับ $A$ ผ่านการเปลี่ยนแปลง $L^{-1} \cdot L^{-H}$และอื่น ๆ $C$ มีความเฉื่อยเช่นเดียวกับ $A$. อย่างไรก็ตามหากความเฉื่อยของ$C-\sigma I$ เป็นที่ต้องการสำหรับการเปลี่ยนที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ $\sigma$จากนั้นเราไม่สามารถพิจารณาได้อีกต่อไป $A$.