การแยกส่วนองค์ประกอบเวลาว่างสำหรับ PDE ที่ขึ้นอยู่กับเวลา

ในวรรณกรรม FEM มักใช้วิธีกึ่งผันแปรในการแก้ปัญหาของ PDE ที่ขึ้นกับเวลา ฉันไม่ได้เห็นวิธีการแปรปรวนอย่างเต็มที่นั่นคือที่ FEM พื้นที่และเวลา discretised โดยบางทีอาจช่วยให้การใช้ตาข่ายเวลาอวกาศที่ไม่มีโครงสร้าง ถึงแม้ว่าวิธีการลงเวลาอาจจะง่ายกว่าในการใช้งาน แต่มีเหตุผลบางประการที่ว่าทำไมการผสานเวลาว่างไม่สามารถใช้งานได้? ฉันคิดว่าเราต้องปรับแต่งตาข่ายให้เคารพคุณสมบัติทางกายภาพของปัญหาที่กำหนด แต่ฉันไม่แน่ใจ

การแยกส่วนอวกาศ - เวลาเต็มรูปแบบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วนขึ้นอยู่กับเวลานั้นเป็นเรื่องจริง หากคุณใช้ตาข่ายที่มีโครงสร้างในเวลา (ในแง่ที่ว่า discretization เวลาไม่ได้ขึ้นอยู่กับพื้นที่) และทางเลือกที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นการทดลองและทดสอบคุณสามารถใส่วิธีลงเวลามาตรฐานหลายแบบ (Crank-Nicolson, Euler นัยหรือ Runge บางอย่าง -Kutta Schemes) เข้าสู่กรอบ Galerkin ซึ่งให้แนวทางการวิเคราะห์ที่หรูหรา นี่คือตัวอย่างในหนังสือของThomée Galerkin Finite Element Method สำหรับ Parabolic Problems (Springer, 2nd ed., 2006) หรือ Chrysafinos 'และ Walkington's paper ประมาณค่าความผิดพลาดสำหรับวิธี Galerkin ที่ไม่ต่อเนื่องสำหรับสมการพาราโบลา (SIAM J. Numer) . 44.1, 349–366, 2006)

การใช้ตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้างอย่างสมบูรณ์นั้นเป็นเรื่องปกติน้อยกว่า แต่สามารถทำให้เกิดปัญหาไฮเปอร์โบลิกที่คุณมีการขนส่งข้อมูลตามลักษณะ หากคุณใช้สูตร Galerkin ที่ไม่ต่อเนื่ององค์ประกอบเวลาว่างแต่ละคู่จะมีคู่กับองค์ประกอบใกล้เคียงผ่านข้อกำหนดใบหน้า (คุณไม่มีข้อกำหนดด้านความต่อเนื่องทั่วโลก) และคุณสามารถใช้กระบวนการกวาดเพื่อคำนวณวิธีแก้ปัญหาโดยเริ่มจากองค์ประกอบหนึ่งไปยังองค์ประกอบตามลักษณะ - การเรียงลำดับของ "การเอียง" แบบทันเวลา แน่นอนว่านี่เป็นสิ่งที่ทำได้ยากกว่าแม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเก็บตาข่ายแบบเต็มพื้นที่ (ซึ่งอาจเป็นสิ่งต้องห้าม) ในทางกลับกันคุณจะได้รับประโยชน์จากตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้างในการอนุญาตให้ปรับแต่งแบบท้องถิ่นพื้นที่เวลาระเบียบวิธีไฟไนต์เอลิเมน ต์ สำหรับ elastodynamics: สูตรและประมาณการข้อผิดพลาด , คอมพิวเตอร์วิธีการในการประยุกต์ใช้กลศาสตร์และวิศวกรรม 66 (3): 339-363 1988 นอกจากนี้ยังมีวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกโดย Shripat Thite บนSpacetime Meshing สำหรับต่อเนื่องวิธี

บริบทที่ฉันได้เห็นความคิดนี้ก็คือการปรับให้เหมาะสมแบบ จำกัด PDE สำหรับปัญหาพาราโบลา คุณสามารถกำหนดเงื่อนไขการเพิ่มประสิทธิภาพที่จำเป็นสำหรับการสั่งซื้อครั้งแรกในฐานะระบบคู่ของสมการไปข้างหน้าถอยหลังซึ่งคุณสามารถตีความว่าเป็นการผสมสูตรของลำดับที่สองในเวลาลำดับที่ 4 ในสมการรูปไข่อวกาศด้วยการเริ่มต้นสุดท้าย (และ เงื่อนไขขอบเขต. โดยทำต่อเนื่องพื้นที่เวลาการปรับตัวของระบบควบคู่นี้คุณสามารถมีวิธีการหนึ่งในการยิงที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณการแก้ปัญหาดูฆ้อง Hinze โจว: พื้นที่เวลาประมาณองค์ประกอบ จำกัด ของปัญหาการควบคุมที่ดีที่สุดพาราโบลาเจ Numer คณิตศาสตร์. 20 (2): 111-145 (2012)

มีเอกสารล่าสุดเกี่ยวกับวิธีอวกาศ - เวลา มีหนึ่งรายการจากSteinbach, Space-Time Finite ElementและLanger et al, การวิเคราะห์ไอโอogeometricอวกาศเวลาทั้งหมดที่อยู่ปัญหา Parabolic Evolution ในบทความทั้งสองพวกเขาอธิบายอย่างชัดเจนถึงสูตรการเปลี่ยนแปลง แต่ในการตั้งค่าที่แตกต่างกัน เป็นชื่อที่แนะนำอดีตใช้ FEM และ IgA หลัง ฉันคิดว่านี่เป็นข้อมูลที่ดีโดยเฉพาะในสิ่งที่คุณต้องการ

ในบทสุดท้ายของรุ่นที่สองของคณิตศาสตร์เชิงตัวเลขเอกสารฉบับที่Quatteroni et alมีส่วนใน Space-Time ซึ่งอาจเป็นประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับการเชื่อมต่อกับ$\theta-$รูปแบบ

การใช้ Space-Time ของผลิตภัณฑ์ Tensor นั้นแตกต่างจากผลิตภัณฑ์ที่ไม่ใช้เมตริกซ์มาก ส่วนหลังนั้นค่อนข้างยุ่งยากโดยเฉพาะกับ FEM