อัลกอริธึมที่เร็วที่สุดสำหรับการคำนวณเมทริกซ์ผกผันคืออะไรและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สมมาตรเชิงบวกแน่นอน

เมื่อพิจารณาเมทริกซ์สมมาตรเชิงบวกที่แน่นอนอัลกอริธึมที่เร็วที่สุดสำหรับการคำนวณเมทริกซ์ผกผันและดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร สำหรับปัญหาที่ฉันสนใจมิติของเมทริกซ์คือ 30 หรือน้อยกว่า

ความแม่นยำและความเร็วสูงเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่ง (มีการฝึกอบรมหลายล้านครั้ง)
ตัวกำหนดมีความจำเป็นในการคำนวณแต่ละครั้งจะต้องมีเพียงหนึ่งองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่หลากหลายเท่านั้น ขอบคุณ!

algorithms matrix

— สั่งซื้อ
แหล่งที่มา

คุณต้องสลับเมทริกซ์นี้เป็นล้าน ๆ ครั้งหรือไม่? มิฉะนั้นความเร็วจะไม่เป็นปัญหา

— Wolfgang Bangerth

ฉันแก้ไขชื่อและคำถามของคุณเพื่อความชัดเจน หากฉันทำผิดพลาดโปรดแจ้งให้เราทราบ

— Geoff Oxberry

@ Wolfgang Bangerth ใช่ควรพิจารณาความเร็วด้วย

— คำสั่งซื้อ

คุณรู้หรือไม่ว่าองค์ประกอบของเมทริกซ์ผกผันนั้นต้องการอะไร? หรือมันอาจเป็นรายการแบบสุ่ม?

— Memming

@Orders ความคิดเห็นและการแก้ไขของคุณดูเหมือนขัดแย้ง: คุณต้องการองค์ประกอบหนึ่งของการผกผันหรือทั้งหมดหรือไม่

— Federico Poloni

สำหรับปัญหาที่ฉันสนใจมิติของเมทริกซ์คือ 30 หรือน้อยกว่า

ในฐานะที่เป็น WolfgangBangerth หมายเหตุเว้นแต่ว่าคุณจะมีเมทริกซ์เหล่านี้จำนวนมาก (ล้านล้านล้านดอลลาร์) ประสิทธิภาพของเมทริกซ์ผกผันโดยทั่วไปจะไม่เป็นปัญหา

เมื่อพิจารณาเมทริกซ์สมมาตรเชิงบวกที่แน่นอนอัลกอริธึมที่เร็วที่สุดสำหรับการคำนวณเมทริกซ์ผกผันและดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร

หากความเร็วเป็นปัญหาคุณควรตอบคำถามต่อไปนี้:

คุณต้องการอินเวอร์สทั้งหมดหรือไม่? (แอปพลิเคชันจำนวนมากไม่จำเป็นต้องสร้างการผกผันอย่างชัดเจน)
คุณต้องการปัจจัยหรือไม่ (ปัจจัยเป็นเรื่องแปลก แต่ก็ไม่เคยได้ยินมาก่อนในวิทยาศาสตร์การคำนวณ)
คุณต้องการความแม่นยำสูงหรือไม่? (อัลกอริทึมความแม่นยำต่ำมีแนวโน้มที่จะเร็วขึ้น)
การประมาณความน่าจะเป็นจะเพียงพอหรือไม่ (อัลกอริธึมน่าจะเป็นเร็วกว่า)

การตอบสนองมาตรฐานต่อปัญหาของคุณในการแปลงเมทริกซ์แน่นอนที่เป็นบวกและมีขนาดเล็กและการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์คือการสลายตัวของ Cholesky ถ้า $A = LL^{T}$ จากนั้น $\det(A) = \prod_{i=1}^{n}l_{ii}^{2}$ และ2} $\det(A^{-1}) = \prod_{i=1}^{n}l_{ii}^{-2}$

สมมติว่าคือคูณการสลายตัวของ Cholesky สามารถคำนวณได้ในรอบ flops ซึ่งประมาณครึ่งราคาของการสลายตัว LU อย่างไรก็ตามอัลกอริทึมดังกล่าวจะไม่ถือว่า "เร็ว" การแยกย่อย LU แบบสุ่ม $A$ $n$ $n$ $n^{3}/3$ อาจเป็นอัลกอริธึมที่เร็วกว่าที่ควรพิจารณาหาก (1) คุณต้องคำนึงถึงเมทริกซ์จำนวนมาก (2) การแยกตัวประกอบนั้นเป็นขั้นตอนที่ จำกัด ในแอปพลิเคชันของคุณและ (3) ข้อผิดพลาดใด ๆ ยอมรับได้ เมทริกซ์ของคุณอาจเล็กเกินไปสำหรับอัลกอริธึมกระจัดกระจายที่จะคุ้มค่าดังนั้นโอกาสอื่น ๆ สำหรับอัลกอริธึมที่เร็วกว่านั้นจะต้องมีโครงสร้างเมทริกซ์เพิ่มเติม (เช่นแบนด์) หรือการใช้ประโยชน์จากโครงสร้างปัญหา (เช่นบางทีคุณอาจ ต้องคำนวณเมทริกซ์ผกผันหรือตัวกำหนดอีกต่อไป) อัลกอริธึมดีเทอร์มิแนนต์แบบคร่าวๆคือค่าใช้จ่ายในการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นภายในปัจจัยคงที่ดังนั้นอาร์กิวเมนต์เดียวกันที่ใช้สำหรับระบบเชิงเส้นจะใช้กับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เช่นกัน

— Geoff Oxberry
แหล่งที่มา

เพียงแค่ทราบคร่าวๆ: ถ้า , การคำนวณองค์ประกอบหนึ่งหนึ่งควรคำนวณเฉพาะ TH คอลัมน์Bเมื่อ factorisation Cholesky คำนวณนี้จะกระทำโดยการไปข้างหน้าและย้อนกลับไปทดแทนส่วนที่เกี่ยวกับเวกเตอร์ RHS ของศูนย์ทั้งหมดและมีเพียงหนึ่งเดียวในแถวที่ jเนื่องจากการคำนวณสามารถถูกอินเตอร์ทันทีที่ถูกคำนวณดังนั้นกรณีที่ดีที่สุดสำหรับกรณีที่แย่ที่สุดสำหรับซึ่งต้องคำนวณเต็มด้านหลังและ ไปข้างหน้าแทน

B = A^{- 1}

$B = A^{-1}$

b_{i j}

$b_{ij}$

j

$j$

B

$B$

j

$j$

b_{i j}

$b_{ij}$

b_{n n} = l_{n n}^{- 2}

$b_{nn} = l_{nn} ^{-2}$

b_{11}

$b_{11}$

— Stefano M

@StefanoM ยิ่งไปกว่านั้นคุณสามารถเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์ของคุณก่อนที่จะเริ่มการคำนวณเพื่อที่ว่าคุณจะได้เป็นกรณีที่ดีที่สุดเสมอ

— Federico Poloni