วิธีการกำหนดเมทริกซ์มวล lumped ใน FEM

เมื่อการแก้ปัญหา PDE ขึ้นอยู่กับเวลาโดยใช้วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์เช่นสมการความร้อนถ้าเราใช้การเลื่อนเวลาอย่างชัดเจนดังนั้นเราต้องแก้ระบบเชิงเส้นเนื่องจากเมทริกซ์มวล ตัวอย่างเช่นถ้าเรายึดติดกับตัวอย่างสมการความร้อน

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

จากนั้นใช้ forward euler ที่เราได้รับ

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

และแม้ว่าเราจะใช้รูปแบบการก้าวข้ามเวลาที่ชัดเจนเรายังต้องแก้ระบบเชิงเส้น เห็นได้ชัดว่าเป็นปัญหาที่สำคัญเนื่องจากข้อได้เปรียบหลักของการใช้รูปแบบที่ชัดเจนคือไม่จำเป็นต้องแก้ระบบเชิงเส้น ฉันได้อ่านแล้วว่าวิธีทั่วไปในการแก้ไขปัญหานี้คือแทนที่จะใช้เมทริกซ์มวล "ที่มีก้อน" ซึ่งเปลี่ยนเมทริกซ์มวล (สม่ำเสมอ?) เป็นเมทริกซ์แนวทแยงและทำให้การผกผันเล็กน้อย เมื่อทำการค้นหาด้วยกูเกิ้ล แต่ฉันก็ยังไม่แน่ใจทั้งหมดว่าวิธีการสร้างมวลเมทริกซ์ก้อน ตัวอย่างเช่นดูที่เขากระดาษการทดลองเชิงตัวเลขในก้อนมวลสำหรับอุปกรณ์ข้อแนะนำการแพร่กระจายโดย Edson Wendland Harry และ Edmar Schulz พวกเขาสร้างเมทริกซ์มวลของพวกเขาด้วยการสรุปค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดลงในแนวทแยงมุม ตัวอย่างเช่นหากเมทริกซ์มวลที่สอดคล้องกันดั้งเดิมของเราคือ:

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

จากนั้นเมทริกซ์มวลที่เกิดขึ้นจะเป็น:

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

คำถามของฉันคือ: นี่เป็นวิธีที่ถูกต้องในการสร้างเมทริกซ์มวล lumped หรือไม่? มีข้อเสียอะไรบ้างเมื่อใช้เมทริกซ์มวล lumped แทนเมทริกซ์มวลที่สอดคล้องกันเต็มรูปแบบในแง่ของความแม่นยำ? ผู้เขียนบทความที่ฉันพูดถึงจริง ๆ แล้วไม่แนะนำให้ใช้เมทริกซ์มวล lumped แม้ว่าดูเหมือนว่าพวกเขาจะใช้เพียงโครงการก้าวเวลาโดยปริยายซึ่งฉันคิดว่าแปลกเพราะเหตุผลหลักที่ใช้เมทริกซ์นั้นเป็นวิธีการที่ชัดเจน

หมายเหตุ: ฉันจะไม่ใช้ Forward Euler เพื่อแก้สมการความร้อนนั่นเป็นเพียงตัวอย่างเท่านั้น นอกจากนี้หากมันเป็นปัญหาของฉันคือการแก้สมการเนเวียร์สโตกส์ซึ่งคำที่ไม่เชิงเส้นได้รับการปฏิบัติอย่างชัดเจนและระยะการแพร่จะได้รับการปฏิบัติโดยปริยาย

ขอบคุณ

finite-element time-integration navier-stokes

— เจมส์
แหล่งที่มา

O (n^{2})

$O(n^{2})$

ใช่ฉันสามารถทำเช่นนั้นได้ถ้าฉันใช้ตัวแก้ปัญหาโดยตรง แต่ถ้าฉันใช้ PCG หรือตัวแก้แบบวนซ้ำอื่น ๆ ฉันไม่คิดว่ามันจะช่วยได้

— James

โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่เชื่อใจก้อนมวลทางคณิตศาสตร์ มันไม่ได้ให้ประโยชน์ใด ๆ แก่คุณเว้นแต่คุณจะตั้งเป้าหมายให้ชัดเจนในกรณีนี้เมทริกซ์มวลในแนวทแยงทำให้แก้ปัญหาได้ง่ายกว่ามาก หากคุณใช้วิธีการลดเวลาโดยปริยายคุณจะไม่ได้รับความกระจ่างในเมทริกซ์ ฉันคิดว่าคุณได้รับข้อผิดพลาด ณ จุดนั้นโดยไม่ใช้เมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน

— เปาโล

ฉันประหลาดใจที่ไม่มีใครพูดถึงวิธีการทอดและมาร์คัส (1975) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมที่ใช้โหนดที่จุด Lobatto เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่ถูกตัดทอน ไม่เป็นปัญหาจนกว่าคุณจะได้รับไปที่ cubics แต่ตัดทอนองค์ประกอบ Serendipity แนวคิดนี้ขยายไปถึงรูปสามเหลี่ยม แต่ต้องการพื้นฐานและพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นพิเศษ

— แอลยอง

ฉันไม่คิดว่ามีคำตอบที่ชัดเจนสำหรับเรื่องนี้เพราะมันอาจเปลี่ยนจากหัวข้อหนึ่งไปเป็นหัวข้ออื่น (และยังขึ้นอยู่กับประเภทขององค์ประกอบที่คุณใช้) มีรายงานเมื่อเร็ว ๆ นี้ที่พูดถึงเรื่องนั้นเช่นกัน [2] ดังนั้นจึงไม่ใช่การอภิปรายที่ปิด นอกจากนี้คุณสามารถมีส่วนประกอบเฉื่อยที่แตกต่างกัน (อย่างน้อยในกลศาสตร์) เมื่อคุณมีองค์ประกอบที่มีข้อ จำกัด จลน์ศาสตร์เป็นคานหรือเปลือกหอย

Zienkiewicz (ดู [1], ส่วนที่ 16.2.4) อภิปรายสามวิธีในการรวมมวลเมทริกซ์

$M_{i i}^{(lumped)} = \sum_{j} M_{i j}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
$M_{i i}^{(lumped)} = c M_{i i}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

วิธีการทั้งหมดไม่ทำงานในทุกกรณีตัวอย่างเช่นวิธีการรวมแถวไม่ทำงานสำหรับองค์ประกอบลำดับเลข 8 โหนดเนื่องจากจะนำไปสู่มวลเชิงลบ

$M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

M_{i i}^{(lumped)} = \frac{M_{tot}}{T r (M)} M_{i i} (no summation on i) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

ฉันยังใช้วิธีที่ 3 กับวิธีสเปกตรัมที่เรียกว่าโหนด Lobatto (ใช้ตำแหน่งเหล่านี้เป็นโหนดและจุดรวม) ที่นำไปสู่การฝึกอบรมในแนวทแยงมุมโดยอัตโนมัติ

จาก [1] คุณจะเห็นรูปนี้อธิบายวิธีการบางอย่างสำหรับองค์ประกอบบางประเภท ก้อนมวลสำหรับองค์ประกอบ จำกัด สองมิติ

อ้างอิง

[1] Zhu, J. , ZRL Taylor และ OC Zienkiewicz "วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์: พื้นฐานและปัจจัยพื้นฐาน" (2005): 54-102

[2] Felippa, Carlos A. , Qiong Guo และ KC Park "เทมเพลตมวลเมทริกซ์: คำอธิบายทั่วไปและตัวอย่าง 1d" จดหมายเหตุของวิธีการคำนวณทางวิศวกรรม 22.1 (2015): 1-65

— nicoguaro
แหล่งที่มา