Multigrid ของ Krylov เร่งความเร็วอย่างไรโดยใช้ MG เป็นตัวกระตุ้นล่วงหน้า?

Multigrid (MG) อาจใช้เพื่อแก้ระบบเชิงเส้นโดยสร้างการเดาเริ่มต้นx 0และทำซ้ำสิ่งต่อไปนี้สำหรับi = 0 , 1 ..จนกระทั่งการบรรจบกัน:$Ax=b$$x_0$$i=0,1..$

1. คำนวณส่วนที่เหลือ$r_i = b-Ax_i$
2. สมัครรอบ multigrid ที่จะได้รับประมาณที่อีฉัน = Rฉัน$\Delta x_i \approx e_i$$Ae_i = r_i$
3. อัปเดต$x_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i$

วงจร multigrid เป็นลำดับของเรียบแก้ไขข้อ จำกัด บางอย่างและแน่นอนตารางหยาบแก้ปัญหาการดำเนินงานนำไปใช้กับในการผลิตΔ xฉัน นี่คือ V-cycle หรือ W-cycle นี่คือการดำเนินการเชิงเส้นเพื่อให้เราเขียนΔ x ฉัน = B Rฉัน$r_i$$\Delta x_i$$\Delta x_i = B r_i$

หนึ่งสามารถตีความกระบวนการนี้เป็นเงื่อนไขซ้ำริชาร์ดสัน นั่นก็คือเราอัปเดตฉัน$x_{i+1} \gets x_i + B r_i$

การทำซ้ำของริชาร์ดสันเป็นวิธีการย่อยแบบพื้นที่ต้นแบบ Krylov ซึ่งแนะนำการใช้วงจรแบบหลายจุดเพื่อกำหนดเงื่อนไขวิธีการแบบพื้นที่ย่อยแบบอื่นของ Krylov บางครั้งเรียกว่า multigrid แบบ "เร่ง" ด้วยวิธี Krylov หรืออีกวิธีหนึ่งสามารถเห็นได้ว่าเป็นตัวเลือกของเงื่อนไขเบื้องต้นสำหรับวิธี Krylov

อีกวิธีในการขยายอัลกอริทึมข้างต้นคือการใช้ Full Multigrid (FMG) ดูคำตอบนี้สำหรับคำอธิบายที่กระชับ

MG เร่ง Krylov ในสถานการณ์ใดที่นิยมใช้ MG หรือ FMG?

$b-Ax$

อย่างไรก็ตามในกรณีที่ใช้งานได้จริงหลายวิธีจะไม่ใช้วิธี multigrid ที่ดีที่สุดหรือมีประสิทธิภาพ อาจเป็นเพราะ

• วิธีการดังกล่าวไม่เป็นที่รู้จักหรือไม่พร้อมใช้งานสำหรับปัญหาที่กำหนด
• ผู้ดำเนินการที่ราบรื่นและ intergrid ไม่เพียงพอที่จะให้การบรรจบตำรา
• ตัวแก้ปัญหากริดหยาบนั้นไม่แน่นอน

$BA$

โปรดทราบว่าตัวเลือกในการใช้วิธีการที่ไม่น่าพอใจอาจส่งผลให้วงจร multigrid "ถูกกว่า" มากจนถึงจุดที่การเร่งความเร็วของ Krylov จ่ายออกไป นั่นคืออาจมีปัญหา (และระบบคอมพิวเตอร์) ที่ MG ที่เร่ง Krylov สามารถทำได้ดีกว่า MG ฉันสนใจที่จะหาตัวอย่างที่ชัดเจนของเรื่องนี้

(ขอบคุณ @chris ด้านบนและMatt Knepleyที่กล่าวถึงบางอย่างข้างต้นในการสอน)