แนวคิดทั่วไปของวิธีการของ Nitsche ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขคืออะไร?

ฉันรู้ว่าวิธีการของ Nitsche เป็นวิธีที่น่าสนใจมากเนื่องจากช่วยให้คำนึงถึงเงื่อนไขขอบเขตประเภท Dirichlet หรือสัมผัสกับเงื่อนไขขอบเขตแรงเสียดทานในแบบที่อ่อนแอโดยไม่ต้องใช้ตัวคูณ Lagrange และข้อดีของมันคือการเปลี่ยนเงื่อนไขขอบเขตของดีริชเลต์ให้เป็นเงื่อนไขที่อ่อนแอเช่นเดียวกับเงื่อนไขขอบเขตของนอยมันน์ซึ่งจ่ายโดยความจริงที่ว่าการดำเนินการนั้นขึ้นอยู่กับแบบจำลอง

อย่างไรก็ตามมันดูเหมือนว่าจะกว้างเกินไปสำหรับฉัน คุณช่วยให้ฉันมีความคิดที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นของวิธีการนี ตัวอย่างง่ายๆจะได้รับการชื่นชม

วิธีการของ Nitsche เกี่ยวข้องกับวิธีการที่ไม่ต่อเนื่องของ Galerkin (จริง ๆ แล้วตามที่ Wolfgang ชี้ให้เห็นว่ามันเป็นตัวตั้งต้นของวิธีการเหล่านี้) และสามารถได้มาในรูปแบบที่คล้ายกัน ลองพิจารณาปัญหาที่ง่ายที่สุดสมการของปัวซอง:

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$$ ตอนนี้เรากำลังมองหาสูตรที่หลากหลาย

1. มีความพึงพอใจในการแก้ปัญหา (อ่อน) (เช่นสอดคล้องกัน)$u\in H^1(\Omega)$
2. สมมาตรในและโวลต์ ,$u$$v$
3. ยอมรับวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (ซึ่งหมายความว่ารูปแบบ bilinear จะบีบบังคับ)

เราเริ่มต้นตามปกติโดยการใช้รูปแบบที่แข็งแกร่งของสมการเชิงอนุพันธ์คูณด้วยฟังก์ชั่นทดสอบและบูรณาการโดยชิ้นส่วน เริ่มต้นด้วยด้านขวาเราได้รับ ( f , v ) = ( - Δ u , $v\in H^1(\Omega)$ โดยที่ในสมการสุดท้ายเราได้เพิ่มศูนย์การผลิต0=u-gในขอบเขต การจัดเรียงเงื่อนไขการเชิงเส้นและ bilinear รูปแบบแยกต่างหากในขณะนี้จะช่วยให้สมการแปรผันสำหรับรูปแบบ bilinear สมมาตรที่เป็นที่พอใจสำหรับการแก้ปัญหาU∈H1(Ω)ของ(1)

$$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$$ $0=u-g$$u\in H^1(\Omega)$$(1)$

รูปแบบบิลิแนร์จะถูก แต่ไม่ได้บีบบังคับเนื่องจากคุณไม่สามารถผูกพันได้จากด้านล่างสำหรับโดยค‖ วี‖ 2 H 1 (ที่เราไม่ได้มีเงื่อนไขขอบเขตใด ๆ สำหรับพลวี∈ H 1 ( Ω )เราไม่สามารถใช้งาน ความไม่เท่าเทียมกันของPoincaréตามปกติ - นี่หมายความว่าเราสามารถทำให้L 2เป็นส่วนหนึ่งของบรรทัดฐานที่มีขนาดใหญ่ตามอำเภอใจโดยไม่ต้องเปลี่ยนรูปแบบ bilinear) ดังนั้นเราจึงต้องเพิ่มอีกวาระหนึ่ง (สมมาตร) ที่หายไปสำหรับการแก้ปัญหาจริง: η ∫ ∂ โอห์ม ( U - กรัม) $u=v$$c\|v\|_{H^1}^2$$v\in H^1(\Omega)$$L^2$สำหรับบางคน η > 0ใหญ่พอ นำไปสู่การ (สมมาตรสอดคล้องบีบบังคับ) สูตรอ่อนแอนี้: ค้นหายู∈ H 1 ( Ω )เช่นว่า ( ∇ ยู, ∇ วี) - ∫ ∂ Ω ∂ เข้าพบ$\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$$\eta>0$$u\in H^1(\Omega)$

$$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$$

$u,v\in H^1(\Omega)$$u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$$\eta$$ch^{-1}$$c>0$

(นี่ไม่ใช่ต้นกำเนิดดั้งเดิมของ Nitsche ซึ่งมาก่อนวิธี Galerkin ที่ไม่ต่อเนื่องและเริ่มต้นจากปัญหาการลดขนาดที่เท่ากันในความเป็นจริง กระดาษเดิมของเขาไม่ได้พูดถึงรูปแบบ bilinear สอดคล้องกันเลย แต่คุณสามารถค้นหาได้ใน e กรัมFreund และ Stenberg, สำหรับเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดอย่างอ่อนสำหรับปัญหาอันดับสองการดำเนินการของเก้า Int. Conf. องค์ประกอบ จำกัด ในของเหลวเวนิส 1995 M. Morandi Cecchi et al., Eds. pp. 327-336 )