การตรวจสอบปัญหาค่าไอเกน

ให้เราเริ่มด้วยปัญหาของแบบฟอร์ม

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

ด้วยชุดของเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนด ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periodic , Bloch-Periodic ) สิ่งนี้สอดคล้องกับการหาค่าลักษณะเฉพาะและ eigenvector สำหรับตัวดำเนินการ $\mathcal{L}$ ภายใต้รูปทรงเรขาคณิตและเงื่อนไขขอบเขต เราสามารถรับปัญหาเช่นนี้ได้ในวิชาอะคูสติกแม่เหล็กไฟฟ้าอิลาสโตไดนามิคกลศาสตร์ควอนตัมเป็นต้น

ฉันรู้ว่าใครสามารถแยกผู้ปฏิบัติงานโดยใช้วิธีการที่แตกต่างกันเช่นวิธีการผลต่าง จำกัด

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

หรือการใช้วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

ในกรณีที่ได้รับปัญหา eigenvalueและปัญหา eigenvalue ทั่วไปในอื่น ๆ หลังจากได้รับปัญหาที่ไม่ต่อเนื่องแล้วเราจะใช้ตัวแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ

ความคิดบางอย่าง

วิธีการของโซลูชันการผลิตไม่เป็นประโยชน์ในกรณีนี้เนื่องจากไม่มีคำที่มาเพื่อสมดุลสมการ
$[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
แทน

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
แต่นี่จะไม่ตรวจสอบปัญหาการแก้ไข
บางทีเราสามารถเปรียบเทียบโซลูชันสำหรับวิธีการที่แตกต่างกันเช่น FEM และ FDM

คำถาม

วิธีการตรวจสอบวิธีการแก้ปัญหา (คู่ eigenvalue-eigenvector) สำหรับรูปแบบ discretization เนื่องจากวิธีการเชิงตัวเลขเช่น FEM และ FDM สำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะคืออะไร?

— nicoguaro
แหล่งที่มา

คุณสามารถเปรียบเทียบผลลัพธ์ของคุณกับสเปกตรัมสำหรับกรณีที่ทราบ (สี่เหลี่ยมจัตุรัสลูกบาศก์วงกลมวงกลม) ได้หรือไม่? นอกจากนี้ยังมีอัตราการบรรจบกันของ eigenvector และค่าลักษณะเฉพาะที่คาดว่าคุณสามารถตรวจสอบ (แม้ว่าอัตราเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับความถี่ - ดูjournals.cambridge.org/action/ … )

— Jesse Chan

ใช่คุณสามารถเปรียบเทียบกับโซลูชันการวิเคราะห์ แต่โดยปกติจะมีให้ในกรณีที่ง่ายจริงๆ คำถามคือเกี่ยวกับวิธีการทำกระบวนการตรวจสอบ หากมีสิ่งที่คล้ายกับวิธีการที่โอ้ผลิตโซลูชั่น หรือถ้าคุณควรรวมวิธีนี้สำหรับปัญหาอื่น ๆ กับวิธีการวิเคราะห์

— nicoguaro

ในมิติเดียวถ้าคุณเริ่มต้นด้วยและมีคุณสามารถลองแยกย่อยหากมีอยู่ และเรียกใช้แล้วกับ\สิ่งนี้อาจทำให้เกิดความสมมาตรของและคุณสมบัติอื่น ๆ ได้ฉันว่า ที่นี่และควรเป็นอิสระเป็นเส้นตรงและไม่สามารถหายไปในจุดเดียวกัน

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$

— คิริลล์

@JesseChan ขอบคุณสำหรับการอ่านที่แนะนำ ฉันใช้เวลาพอสมควร แต่ฉันอ่านมัน ฉันไม่คิดว่าพวกเขาให้ข้อมูลเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ที่ต้องการ

— nicoguaro

ฉันต้องการให้แน่ใจว่าฉันเข้าใจคุณถูกต้อง คุณต้องการทราบวิธีการประเมินระยะห่างระหว่างeigenpairs ที่คำนวณได้สำหรับตัวดำเนินการแยก (เมทริกซ์หรือเมทริกซ์) และ eigenpair ที่เกี่ยวข้องสำหรับตัวดำเนินการที่ราบรื่นหรือไม่? หรือคุณต้องการที่จะประเมินความถูกต้องที่คุณแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะแบบไม่ต่อเนื่องหรือไม่?

— Carl Christian

คำตอบ:

ฉันรู้ว่าคำถามนี้เก่า แต่ฉันเพิ่งเห็นและพบว่าน่าสนใจ ในอดีตฉันได้ปฏิบัติตามคำแนะนำที่พบในความคิดเห็นของคำถามนี้ควบคู่ไปกับกรณีที่ซับซ้อนเล็กน้อยกว่าที่ฉันคุ้นเคยในวรรณคดี (Orr - Sommerfeld มีประโยชน์เสมอ)

อย่างไรก็ตามฉันยังได้ทราบถึงวรรณกรรมบางอย่างเกี่ยวกับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นแบบเดียวกันซึ่งเกิดขึ้นเมื่อสร้างโซลูชันที่ผลิตขึ้น มีการอภิปรายปัญหาดังกล่าวบางส่วนอยู่ที่นี่: DOI: 10.1016 ผู้เขียนเหล่านี้ยังแนะนำวิธีที่เรียกว่าผลิตข้ามส่วน (MXS ฉันเดา) เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้โดยสิ้นเชิงซึ่งฉันจะไม่แกล้งทำเป็นเข้าใจในขณะนี้ แต่อาจมีประโยชน์มาก

— Spencer Bryngelson
แหล่งที่มา

สิ่งที่พวกเขาเสนอให้เป็น "ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เหมือนกัน" คือแนวทางที่ฉันเสนอในโพสต์ดั้งเดิมของฉัน ฉันยังคงพยายามที่จะเข้าใจวิธีการผลิตข้ามส่วนแม้ว่า

— nicoguaro

ฉันรู้ว่าเพียงแค่แนะนำให้มีวรรณกรรมบางอย่างสำหรับปัญหาดังกล่าวดังนั้นจึงอาจไม่ใช่จุดจบตามที่คุณแนะนำ: "โซลูชันการผลิตไม่ได้มีประโยชน์ในกรณีนี้เนื่องจากไม่มีคำที่มาเพื่อสมดุลสมการ"

— Spencer Bryngelson

มันไม่ใช่คำวิจารณ์ของโพสต์ของคุณ ค่อนข้างตรงกันข้าม! ฉันแค่แสดงความคิดเห็นในสิ่งที่ฉันพบหลังจากอ่านข้อมูลอ้างอิงเพื่อส่งเสริมการสนทนา

— nicoguaro

สำหรับอนุพันธ์ลำดับที่สอง (และ Laplacian บนโดเมนแบบง่าย) มีการแสดงนิพจน์คู่ที่ไม่ต่อเนื่อง (เช่นหลังจากการแยกย่อย) ตัวอย่างเช่นสำหรับ จำกัด แตกต่างกัน, eigenpairs มีการระบุไว้ที่นี่

นิพจน์สำหรับ eigenpairs ที่มีการแยกส่วน จำกัด - องค์ประกอบสามารถพบได้ในทำนองเดียวกัน (สำหรับการแยกส่วน P1 และ P2)

— user7440
แหล่งที่มา