องค์ประกอบ Raviart-Thomas บนตารางอ้างอิง

ฉันต้องการเรียนรู้วิธีการทำงานขององค์ประกอบ Raviart-Thomas (RT) ด้วยเหตุนี้ฉันต้องการวิเคราะห์ว่าฟังก์ชันพื้นฐานมีลักษณะอย่างไรในตารางอ้างอิง เป้าหมายที่นี่ไม่ได้ใช้ด้วยตนเอง แต่เพียงเพื่อให้เข้าใจองค์ประกอบได้ง่าย

ฉันกำลังอ้างอิงงานชิ้นนี้จากองค์ประกอบสามเหลี่ยมที่กล่าวถึงที่นี่บางทีการขยายไปยัง quadrilaterals เป็นความผิดพลาดในตัวเอง

ที่กล่าวว่าฉันสามารถกำหนดฟังก์ชั่นพื้นฐานสำหรับองค์ประกอบ RK แรก RK0:

สำหรับ

ϕ_{i} (x) = a + b x = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x \\ a_{2} + b_{2} y \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$

i = 1, \dots, 4.

$i = 1,\dots,4.$

เงื่อนไขในคือ: $\mathbf{\phi}_i$

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

โดยที่เป็นหน่วยปกติที่แสดงด้านล่างและเป็นพิกัด $\mathbf{n}_j$ $\mathbf{x}_j$

RT0

นี่คือตารางอ้างอิงดังนั้นสิ่งนี้นำไปสู่ระบบสมการสำหรับแต่ละฟังก์ชันพื้นฐาน สำหรับนี่คือ: $[-1,1]\times[1,1]$ $\mathbf{\phi}_1$

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

ซึ่งสามารถแก้ไขได้เพื่อให้:

ϕ_{1} (x) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + x \\ 0 \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$

ฟังก์ชันพื้นฐานอื่น ๆ สามารถพบได้ในทำนองเดียวกัน

สมมติว่าถูกต้องแล้วขั้นตอนต่อไปคือการค้นหาฟังก์ชันพื้นฐานสำหรับ RK1 นี่คือที่ฉันไม่แน่ใจตัวเองเล็กน้อย ตามลิงค์ด้านบนพื้นที่ที่เราสนใจคือ:

P_{1} (K) + x P_{1} (K)

$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$

พื้นฐานสำหรับคือ $P_1$ $\{ 1, x, y\}$

ฉันคิดว่านี่หมายถึงฟังก์ชั่นพื้นฐาน RK1 ควรอยู่ในรูปแบบ:

ϕ_{i} (x) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} y + d_{1} x^{2} + e_{1} x y \\ a_{2} + b_{2} x + c_{2} y + d_{2} x y + e_{2} y^{2} \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$

สิ่งนี้ทำให้ 10 unknowns สำหรับแต่ละฟังก์ชันพื้นฐาน หากเราใช้เงื่อนไขเดียวกันกับในกรณี RK0 ได้แก่ :

โดยที่เป็นหน่วยปกติดังแสดงด้านล่าง:

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

n_{j}

$\mathbf{n}_j$

RK1

นี่ให้เรา 8 สมการ อีก 2 ฉันคิดว่าสามารถพบได้ในบางช่วงเวลา ฉันไม่แน่ใจจริงๆ ลิงค์ด้านบนพูดถึงการบูรณาการกับพื้นฐานสำหรับแต่ฉันมีปัญหาในการหาว่ามันหมายถึงอะไร ฉันกำลังอยู่ในเส้นทางที่ถูกต้องหรือว่าฉันพลาดอะไรบางอย่างที่นี่อย่างสมบูรณ์ $[P_1]^2$

pde finite-element

— Lukas Bystricky
แหล่งที่มา

โดยทั่วไปคุณไม่สามารถถ่ายโอนพื้นฐานพหุนามเดียวกันจาก tetrahedral ไปยังองค์ประกอบรูปสี่เหลี่ยม ¹ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจุดรวมขององค์ประกอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือการทำงานกับผลิตภัณฑ์เมตริกซ์ของพหุนามหนึ่งมิติซึ่งเป็นไปไม่ได้สำหรับองค์ประกอบ tetrahedral

$RT_k$

P_{k + 1, k} \times P_{k, k + 1},

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$

P_{k, l} = {\sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{l} a_{i j} x^{i} y^{j} : a_{i j} \in R} .

$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$

k = 0

$k=0$

k = 1

$k=1$

(\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} x^{2} + d_{1} y + e_{1} x y + f_{2} x^{2} y \\ a_{2} + b_{2} y + c_{2} y^{2} + d_{2} x + e_{2} x y + f_{2} x y^{2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$

\dim R T_{1} = 12

$\dim RT_1 = 12$

\dim R T_{k} = 2 (k + 1) (k + 2)

$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$

R T_{k}

$RT_k$

k + 1

$k+1$

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ϕ_{i} (x, y) q_{j} (x, y) d x d x = δ_{i j},

$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$

{q_{j}}

$\{q_j\}$

P_{k - 1, k} \times P_{k, k - 1}

$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$

{1, x, y}

$\{1,x,y\}$

k = 1

$k=1$

\int_{e_{m}} ϕ_{i} (s)^{T} ν_{e_{m}} q_{m, j} (s) d s,

$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$

e_{m}

$e_m$

ν_{e_{m}}

$\nu_{e_m}$

m

$m$

q_{m, j}

$q_{m,j}$

P_{k} (e_{m})

$P_k(e_m)$

{1, x}

$\{1,x\}$

{1, y}

$\{1,y\}$

k = 1

$k=1$

$H(div)$

_{$k$ $k$ $k$ $k$ $x^2y$ $3$ $2$}

— คริสเตียนโคลสัน
แหล่งที่มา

ขอบคุณมากสำหรับคำตอบของคุณคุณเห็นได้ชัดว่าความพยายามอย่างมาก ฉันคิดว่ามันทำให้ฉันเข้าใจผิดไปเยอะมาก

— Lukas Bystricky

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

k = 0

$k=0$

\frac{1}{4} ⟨ 1 + x, 0 ⟩^{T}

$\frac{1}{4}\langle 1+x, 0\rangle^T$

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

y

$y$

ดีใจที่คุณพบว่ามีประโยชน์ คำถามของคุณน่าสนใจและคุณใช้ความพยายามอย่างมากเช่นกัน การสนับสนุนที่กะทัดรัดมาจากความจริงที่ว่าพหุนามมีการกำหนดไว้ในองค์ประกอบอ้างอิงเท่านั้น - โปรดจำไว้ว่า Raviart-Thomas เป็นองค์ประกอบที่สอดคล้องกับ H (div) - และดังนั้นการทำงานในพื้นที่องค์ประกอบ จำกัด ของโลกจึงไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง

— Christian Clason

อันที่จริงนี่เป็นเพียงความจริงสำหรับฟังก์ชั่นพื้นฐานที่เชื่อมต่อกับองศาความอิสระภายใน: ฟังก์ชั่นพื้นฐาน (ทั่วโลก) ที่เชื่อมต่อกับองศาความเป็นขอบได้รับการสนับสนุน (เท่านั้น) ทั้งสององค์ประกอบเชื่อมต่อกันด้วยขอบ ในองค์ประกอบอื่น ๆ พวกเขาจะถูกตั้งค่าเป็นศูนย์

— Christian Clason

จริง ๆ แล้ว: สำหรับองค์ประกอบขอบเพียงร่องรอยปกติจะต้องต่อเนื่องไม่ใช่พหุนามเองดังนั้นแม้จะต้องได้รับการดูแลโดยอัตโนมัติโดยไม่ต้องขยายการสนับสนุน หากคุณต้องการรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่Raviart-Thomas ทั่วโลกฉันขอแนะนำให้คุณขยายคำถามของคุณและฉันจะพยายามขยายคำตอบของฉัน

— Christian Clason