ฟังก์ชั่นทดสอบวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์องค์ประกอบ จำกัด คืออะไร?

ในสมการคลื่น:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

ทำไมเราคูณด้วยฟังก์ชันทดสอบก่อนรวมกัน? $v(x,t)$

finite-element

— แอนดี้
แหล่งที่มา

คำตอบสั้น ๆ : เนื่องจากวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์เป็นการแยกส่วนของสูตรที่อ่อนแอไม่ใช่สูตรที่แข็งแกร่ง (ซึ่งคุณได้ให้ไว้) คำตอบปานกลาง: เนื่องจากคุณไม่สามารถแน่ใจได้ว่าจะหาฟังก์ชัน จำกัด ขนาดเช่นนั้นสมการจะพอใจ; อย่างดีที่สุดคุณสามารถหวังให้ส่วนที่เหลือเป็นมุมฉากกับพื้นที่ จำกัด ของมิติ - หรือเท่ากันมุมฉากกับองค์ประกอบใด ๆ ของพื้นที่นั้น (ซึ่งเป็นหน้าที่ทดสอบอย่างแม่นยำ) การบูรณาการตามส่วนต่างๆนั้นไม่สำคัญและในกรณีของคุณเพื่อความสมมาตร คำตอบยาวยาวเกินไปสำหรับความคิดเห็น :)

— คริสเตียน Clason

คำอธิบายสั้น ๆ อีกข้อหนึ่ง: หากคุณเพิ่งรวมและตั้งค่าเป็นศูนย์คุณกำลังขอค่าเฉลี่ยที่หายไป - ไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังมองหาเพราะส่วนที่เหลืออาจมีขนาดใหญ่มากในส่วนหนึ่งของโดเมนตราบใดที่ มันมีขนาดใหญ่ที่มีเครื่องหมายตรงข้ามในอีก ฟังก์ชั่นการทดสอบในสาระสำคัญ "จำกัด " ที่เหลือให้กับแต่ละองค์ประกอบ

— Christian Clason

สำหรับคำอธิบายเพิ่มเติมให้ดูคำตอบนี้: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

— เปาโล

คำตอบ:

คุณกำลังมาที่มันย้อนกลับ การให้เหตุผลนั้นดูดีขึ้นโดยเริ่มจากการตั้งค่าความแปรปรวนและการทำงานสู่รูปแบบที่แข็งแกร่ง เมื่อคุณทำสิ่งนี้แล้วแนวคิดของการคูณด้วยฟังก์ชั่นการทดสอบและการรวมสามารถนำไปใช้กับปัญหาที่คุณไม่ได้เริ่มต้นด้วยปัญหาการย่อเล็กสุด

ดังนั้นให้พิจารณาปัญหาที่เราต้องการลดให้น้อยที่สุด (และทำงานอย่างเป็นทางการและไม่เข้มงวดเลยที่นี่):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

$\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

โดยที่เป็นเพียงแค่สเกลาร์ คุณจะเห็นว่านี่คล้ายกับนิยามดั้งเดิมของอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันสเกลาร์ของตัวแปรสเกลาร์ แต่ขยายไปถึงฟังก์ชันเช่นที่ให้สเกลาร์กลับ แต่มีโดเมนอยู่เหนือฟังก์ชัน $h$ $I$

ถ้าเราคำนวณสิ่งนี้เพื่อของเรา(ส่วนใหญ่ใช้กฎลูกโซ่) เราจะได้ $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

การตั้งค่านี้เป็นศูนย์เพื่อค้นหาค่าต่ำสุดเราจะได้สมการซึ่งดูเหมือนกับคำสั่งที่อ่อนแอสำหรับสมการของ Laplace:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

ทีนี้ถ้าเราใช้ Divergence Theorm (การรวมหลายมิติโดยส่วนต่าง ๆ ) เราสามารถถอดอนุพันธ์ของแล้ววางลงบนเพื่อรับ $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

ทีนี้นี่คือลักษณะที่คุณเริ่มต้นเมื่อคุณต้องการสร้างคำสั่งที่อ่อนแอจากสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน ด้วยแนวคิดนี้ในตอนนี้คุณสามารถใช้มันกับ PDE ใด ๆ เพียงแค่คูณด้วยฟังก์ชันทดสอบรวมใช้ทฤษฎีบท Divergence จากนั้นแยกแยะ

— บิลบาร์ ธ
แหล่งที่มา

ฉันชอบที่จะอธิบายในแง่ของการลดน้ำหนักที่เหลือ

— nicoguaro

@nicoguaro โอเคคุณสามารถเขียนคำตอบนั้นแล้วเราจะดูว่าอันไหนที่เหมาะสมกับ OP :)

— Bill Barth

+1 สำหรับการชี้ให้เห็นว่ารูปแบบที่อ่อนแอเป็นจริง (หรืออย่างน้อยมักจะ) มากขึ้นตามธรรมชาติกว่าแบบฟอร์มที่แข็งแกร่ง

— Christian Clason

น่าสนใจ สัมผัสแทนกัน แต่เกี่ยวกับ"มีหลายวิธีที่จะพิจารณาอนุพันธ์ประเภทนี้" : วิธีเดียวที่ฉันเรียนรู้คือวิธีที่คุณพูดถึง มีอะไรอีกบ้าง

— user541686

@ Mehrdad วิธีนี้คำนวณอนุพันธ์ทิศทางและตรวจสอบว่ามันเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น (ใน ) และด้วยเหตุนี้อนุพันธ์Gâteaux นอกจากนี้คุณยังสามารถมาจากทิศทางอื่น: เดาตัวดำเนินการเชิงเส้น (เช่นโดยการเปรียบเทียบกับฟังก์ชั่นจริง) และตรวจสอบว่ามันเป็นไปตามคุณสมบัติการประมาณเทย์เลอร์ลำดับที่หนึ่ง จากนั้นเป็นอนุพันธ์ของFréchet (และต่อจากนี้เป็นอนุพันธ์ของGâteaux)

h

$h$

— Christian Clason

อย่างที่ฉันพูดถึงก่อนหน้านี้ฉันชอบที่จะคิดถึงรูปร่างที่อ่อนแอว่าเป็นน้ำหนักที่ตกค้าง

เราต้องการที่จะหาวิธีการแก้ปัญหาโดยประมาณ{u} ให้เรานิยามสิ่งตกค้างเป็น $\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

สำหรับกรณีของการแก้ปัญหาที่แน่นอนที่เหลือคือฟังก์ชั่นศูนย์ผ่านโดเมน เราต้องการหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณที่ "ดี" เช่นโซลูชันที่ทำให้ "เล็ก" ดังนั้นเราสามารถพยายามลดบรรทัดฐานของส่วนที่เหลือ (ยกตัวอย่างเช่นวิธีกำลังสองน้อยที่สุด) หรือค่าเฉลี่ยของมัน วิธีหนึ่งในการทำคือการคำนวณน้ำหนักคงเหลือคือลดน้ำหนักที่เหลือ $R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

สิ่งหนึ่งที่สำคัญเกี่ยวกับเรื่องนี้คือมันกำหนดหน้าที่การใช้งานเพื่อให้คุณสามารถย่อเล็กสุดได้ สิ่งนี้สามารถทำงานได้กับฟังก์ชั่นที่ไม่มีรูปแบบแปรผัน ฉันอธิบายเพิ่มเติมเล็กน้อยในโพสต์นี้ คุณสามารถเลือกฟังก์ชั่นในรูปแบบที่แตกต่างกันเช่นอยู่ในพื้นที่เดียวกันของฟังก์ชัน (วิธี Galerkin), ฟังก์ชัน Dirac delta (วิธีการจัดระเบียบ) หรือวิธีแก้ปัญหาพื้นฐาน (วิธีองค์ประกอบขอบเขต) $w$ $\hat{u}$

หากคุณเลือกกรณีแรกคุณจะได้รับสมการเหมือนกับ @BillBarth

— nicoguaro
แหล่งที่มา