วิธีการใช้เงื่อนไขขอบเขต Dirichlet อย่างมีประสิทธิภาพในเมทริกซ์ stiffnes องค์ประกอบ จำกัด กระจัดกระจายทั่วโลก

ฉันสงสัยว่าเงื่อนไขขอบเขตของ Dirichlet ในเมทริกซ์องค์ประกอบกระจัดกระจายทั่วโลกนั้นมีการใช้งานจริงได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเมทริกซ์องค์ประกอบไฟไนต์โกลบอลของเราคือ:

$$K = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \hspace{5mm}\text{and right-hand side vector}\hspace{5mm} b = \begin{bmatrix} b1 \\ b2 \\ b3 \\ b4 \\ b5 \\ \end{bmatrix}$$

จากนั้นเมื่อต้องการใช้เงื่อนไข Dirichlet บนโหนดแรก ( ) เราจะทำให้แถวแรกเป็นศูนย์โดยใส่ 1 ที่และลบคอลัมน์แรกจากด้านขวามือ ตัวอย่างเช่นระบบของเราจะกลายเป็น: $x_{1}=c$$K_{11}$

$$K = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \hspace{5mm}\text{and right-hand side vector}\hspace{5mm} b = \begin{bmatrix} c \\ b2-2\times{c} \\ b3-0\times{c} \\ b4+1\times{c} \\ b5-0\times{c} \\ \end{bmatrix}$$

ทั้งหมดนี้เป็นทฤษฎีที่ดีและดี แต่ถ้า K matrix ของเราถูกจัดเก็บในรูปแบบแถวที่ถูกบีบอัด (CRS) แล้วการย้ายคอลัมน์ไปทางด้านขวาจะกลายเป็นค่าใช้จ่ายสำหรับระบบขนาดใหญ่ (มีหลายโหนดที่เป็น dirichlet) อีกทางเลือกหนึ่งคือไม่ย้ายคอลัมน์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข Dirichlet ไปทางด้านขวามือนั่นคือระบบของเราจะกลายเป็น:

$$K = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \hspace{5mm}\text{and right-hand side vector}\hspace{5mm} b = \begin{bmatrix} c \\ b2 \\ b3 \\ b4 \\ b5 \\ \end{bmatrix}$$

อย่างไรก็ตามสิ่งนี้มีการดึงกลับที่สำคัญในระบบที่ไม่สมมาตรอีกต่อไปดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้การไล่ระดับสีแบบคอนจูเกตแบบผันแปรได้อีกต่อไป (หรือตัวแก้สมมาตรอื่น ๆ ) ทางออกหนึ่งที่น่าสนใจที่ฉันเจอคือ "วิธีการของตัวเลขจำนวนมาก" ที่ฉันพบในหนังสือ "Programming Finite Elements in Java" โดย Gennadiy Nikishkov วิธีนี้ใช้ความจริงที่ว่าความแม่นยำสองเท่ามีความแม่นยำประมาณ 16 หลักเท่านั้น แทนที่จะใส่ 1 ในตำแหน่งเราวางจำนวนมาก ตัวอย่างเช่นระบบของเรากลายเป็น: $K_{11}$

$$K = \begin{bmatrix} 1.0e64 & 2 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \hspace{5mm}\text{and right-hand side vector}\hspace{5mm} b = \begin{bmatrix} c\times{1.0e64} \\ b2 \\ b3 \\ b4 \\ b5 \\ \end{bmatrix}$$

ข้อดีของวิธีนี้คือการรักษาความสมมาตรของเมทริกซ์ในขณะที่ยังมีประสิทธิภาพมากสำหรับรูปแบบการจัดเก็บเบาบาง คำถามของฉันมีดังนี้:

เงื่อนไขขอบเขตของ Dirichlet โดยทั่วไปนำมาใช้ในรหัสองค์ประกอบ จำกัด สำหรับความร้อน / ของเหลวอย่างไร ผู้คนใช้วิธีการของคนจำนวนมากโดยปกติหรือพวกเขาทำอย่างอื่นหรือไม่? มีข้อเสียกับวิธีการของคนจำนวนมากที่มองเห็นได้หรือไม่? ฉันสมมติว่าอาจมีวิธีมาตรฐานที่มีประสิทธิภาพที่ใช้ในรหัสเชิงพาณิชย์และไม่ใช่เชิงพาณิชย์ส่วนใหญ่ที่แก้ปัญหานี้ (เห็นได้ชัดว่าฉันไม่ได้คาดหวังให้คนรู้ว่าผลงานภายในทั้งหมดของตัวแก้ไของค์ประกอบเชิงพาณิชย์ จำกัด แต่ปัญหานี้ดูเหมือนพื้นฐาน เพียงพอที่ใครบางคนน่าจะได้ทำงานในโครงการดังกล่าวและสามารถให้คำแนะนำ)

ใน deal.II ( http://www.dealii.org - ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: ฉันเป็นหนึ่งในผู้เขียนหลักของห้องสมุดนั้น) เราจะกำจัดทั้งแถวและคอลัมน์ทั้งหมดและโดยรวมก็ไม่แพงเกินไป เคล็ดลับคือการใช้ความจริงที่ว่ารูปแบบ sparsity เป็นแบบสมมาตรดังนั้นคุณจึงรู้ว่าแถวไหนที่คุณต้องดูเมื่อกำจัดคอลัมน์ทั้งหมด

วิธีที่ดีกว่าในมุมมองของฉันคือการกำจัดแถวและคอลัมน์เหล่านี้ในเมทริกซ์ของเซลล์ก่อนที่จะถูกเพิ่มในเมทริกซ์โกลบอล ที่นั่นคุณทำงานกับเมทริกซ์เต็มดังนั้นทุกอย่างมีประสิทธิภาพ

ฉันไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับแนวทางจำนวนมากและจะไม่ใช้มันเพราะแน่นอนว่ามันจะนำไปสู่ปัญหาที่ไม่ดีอย่างร้ายแรง

สำหรับการอ้างอิงขั้นตอนวิธีการที่เราใช้ใน deal.II จะมีการอธิบายแนวคิดในการบรรยาย 21.6 และ 21.65 ที่http://www.math.colostate.edu/~bangerth/videos.html ตรงกับคำอธิบายของคุณ

ศูนย์ BCs ง่าย สำหรับ Non zero BC's คุณสามารถใช้ตัวคูณแบบลากรองจ์ได้ เช่นดูที่นี่ ข้อดีอย่างหนึ่งของ LMs คือคุณสามารถใช้สมการข้อ จำกัด ใด ๆ ได้แม้ว่าระบบจะไม่มีขีด จำกัด ดังนั้นคุณจึงต้องการตัวแก้ปัญหาที่เหมาะสม