ทดสอบผู้รวบรวม symplectic ลำดับที่ 3 กับลำดับที่ 4 ด้วยผลลัพธ์ที่แปลกประหลาด

ในคำตอบของฉันกับคำถามเกี่ยวกับ MSEเกี่ยวกับการจำลองฟิสิกส์ 2D มิลผมได้แนะนำการใช้ที่สูงขึ้นเพื่อบูรณาการ symplectic

จากนั้นฉันคิดว่ามันเป็นความคิดที่ดีที่จะแสดงให้เห็นถึงผลกระทบของขั้นตอนเวลาที่แตกต่างกันเกี่ยวกับความแม่นยำระดับโลกของวิธีการที่มีคำสั่งต่างกันและฉันเขียนและเรียกใช้สคริปต์ Python / Pylab สำหรับการเปรียบเทียบฉันเลือก:

( leap2 ) ตัวอย่างที่ 2 สั่งวิกิพีเดีย ที่ผมคุ้นเคย แต่ฉันรู้ว่ามันภายใต้ชื่อเกมเสือข้ามห้วย ,
( ruth3 ) รู ธ ที่ 3 เพื่อบูรณาการ symplectic ,
( ruth4 ) รู ธ ที่ 4 สั่งบูรณาการ

สิ่งที่แปลกคือไม่ว่าจะเลือกเวลาใดก็ตามวิธีเรียงลำดับที่ 3 ของ Ruth นั้นดูเหมือนจะแม่นยำกว่าในการทดสอบของฉันมากกว่าวิธีลำดับที่ 4 ของ Ruth ถึงแม้จะเรียงตามลำดับความสำคัญก็ตาม

คำถามของฉันคือ: ฉันทำอะไรผิดที่นี่ รายละเอียดด้านล่าง

วิธีการแฉแรงของพวกเขาในระบบที่มีการแยก Hamiltonians คือผู้ที่สามารถเขียนเป็น

H (q, p) = T (p) + V (q)

$H(q,p) = T(p) + V(q)$ ที่

q

$q$ ประกอบด้วยพิกัดตำแหน่งทั้งหมด

p

$p$ ประกอบด้วยสักครู่คอนจูเกต,

T

$T$ หมายถึงการเคลื่อนไหว พลังงานและพลังงานศักย์

V

$V$

ในการตั้งค่าของเราเราสามารถทำให้กองกำลังและโมเมนต์เป็นปกติโดยมวลที่นำไปใช้ ดังนั้นกองกำลังเปลี่ยนเป็นการเร่งความเร็วและโมเมนตัมกลายเป็นความเร็ว

ผู้รวบรวม symplectic มาพร้อมกับการพิเศษ (ให้คงที่) สัมประสิทธิ์ซึ่งผมจะติดป้ายและ nด้วยค่าสัมประสิทธิ์เหล่านั้นขั้นตอนเดียวสำหรับการพัฒนาระบบจากเวลา ถึงเวลาใช้แบบฟอร์ม $a_1,\ldots,a_n$ $b_1,\ldots,b_n$ $t$ $t+\delta t$

สำหรับ $i=1,\ldots,n$ :
1. คำนวณเวกเตอร์ $g$ ของความเร่งทั้งหมด, ให้เวกเตอร์ $q$ ของทุกตำแหน่ง
2. เปลี่ยน vector $v$ ของความเร็วทั้งหมดโดย $b_i\,g\,\delta t$
3. เปลี่ยนเวกเตอร์ $q$ ของทุกตำแหน่งโดย $a_i\,v\,\delta t$

ภูมิปัญญาตอนนี้อยู่ในสัมประสิทธิ์ นี่คือ

\begin{aligned} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix}] & = [\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}] & (leap2) \\ [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}] & = [\begin{matrix} \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & 1 \\ \frac{7}{24} & \frac{3}{4} & - \frac{1}{24} \end{matrix}] & (ruth3) \\ [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4} \end{matrix}] & = \frac{1}{2 - \sqrt[3]{2}} [\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1 - \sqrt[3]{2}}{2} & \frac{1 - \sqrt[3]{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \sqrt[3]{2} & 1 \end{matrix}] & (ruth4) \end{aligned}

$\begin{align} \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} &&\textsf{(leap2)} \\ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & 1 \\ \frac{7}{24} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{24} \end{bmatrix} &&\textsf{(ruth3)} \\ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \end{bmatrix} &= \frac{1}{2-\sqrt[3]{2}} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1-\sqrt[3]{2}}{2} & \frac{1-\sqrt[3]{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\sqrt[3]{2} & 1 \end{bmatrix} &&\textsf{(ruth4)} \end{align}$

สำหรับการทดสอบฉันได้เลือกปัญหาค่าเริ่มต้น 1D

\begin{aligned} y^{″} + y & = 0 & y (0) & = 1 & y^{'} (0) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} y''+y &= 0 & y(0) &= 1 & y'(0) &= 0 \end{align}$

∴ (y (t), y^{'} (t)) = (\cos t, - \sin t)

$\therefore\quad \left(y(t),y'(t)\right) = (\cos t, -\sin t)$ ซึ่งมีมิลโตเนียนแยกออกไม่ได้ ที่นี่จะมีการระบุด้วย')

(q, v)

$(q,v)$

(y, y^{'})

$(y,y')$

ฉันได้บูรณาการ IVP ด้วยวิธีการดังกล่าวข้างต้นมากกว่า กับ stepsize ของกับจำนวนเต็มได้รับการแต่งตั้งที่ไหนสักแห่งระหว่างและ100เมื่อพิจารณาถึงความเร็วของleap2ฉันได้เพิ่มสามเท่าสำหรับวิธีการนั้น จากนั้นผมก็พล็อตเส้นโค้งที่เกิดขึ้นในพื้นที่เฟสและซูมในที่ ที่โค้งควรมาถึงอีกครั้งที่t $t\in[0,2\pi]$ $\delta t=\frac{2\pi}{N}$ $N$ $10$ $100$ $N$ $(1,0)$ $t=2\pi$

นี่คือพล็อตและซูมสำหรับและ : $N=12$ $N=36$

สำหรับ , leap2มีขนาดขั้นตอน ที่เกิดขึ้นจะมาถึงใกล้บ้านกว่าruth4 มีขนาดขั้นตอน{N} สำหรับ $N=12$ $\frac{2\pi}{3N}$ $\frac{2\pi}{N}$ $N=36$ , ruth4ชัยชนะเหนือleap2 อย่างไรก็ตามruth3 ที่มีขนาดขั้นตอนเดียวกับruth4มาถึงบ้านมากขึ้นกว่าทั้งสองในทุกการตั้งค่าที่ฉันได้ทดสอบมาแล้ว

นี่คือสคริปต์ Python / Pylab:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def symplectic_integrate_step(qvt0, accel, dt, coeffs):
    q,v,t = qvt0
    for ai,bi in coeffs.T:
        v += bi * accel(q,v,t) * dt
        q += ai * v * dt
        t += ai * dt
    return q,v,t

def symplectic_integrate(qvt0, accel, t, coeffs):
    q = np.empty_like(t)
    v = np.empty_like(t)
    qvt = qvt0
    q[0] = qvt[0]
    v[0] = qvt[1]
    for i in xrange(1, len(t)):
        qvt = symplectic_integrate_step(qvt, accel, t[i]-t[i-1], coeffs)
        q[i] = qvt[0]
        v[i] = qvt[1]
    return q,v

c = np.math.pow(2.0, 1.0/3.0)
ruth4 = np.array([[0.5, 0.5*(1.0-c), 0.5*(1.0-c), 0.5],
                  [0.0,         1.0,          -c, 1.0]]) / (2.0 - c)
ruth3 = np.array([[2.0/3.0, -2.0/3.0, 1.0], [7.0/24.0, 0.75, -1.0/24.0]])
leap2 = np.array([[0.5, 0.5], [0.0, 1.0]])

accel = lambda q,v,t: -q
qvt0 = (1.0, 0.0, 0.0)
tmax = 2.0 * np.math.pi
N = 36

fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6, 6))
ax.axis([-1.3, 1.3, -1.3, 1.3])
ax.set_aspect('equal')
ax.set_title(r"Phase plot $(y(t),y'(t))$")
ax.grid(True)
t = np.linspace(0.0, tmax, 3*N+1)
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, leap2)
ax.plot(q, v, label='leap2 (%d steps)' % (3*N), color='black')
t = np.linspace(0.0, tmax, N+1)
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, ruth3)
ax.plot(q, v, label='ruth3 (%d steps)' % N, color='red')
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, ruth4)
ax.plot(q, v, label='ruth4 (%d steps)' % N, color='blue')
ax.legend(loc='center')
fig.show()

ฉันได้ตรวจสอบข้อผิดพลาดธรรมดาแล้ว:

ไม่มีการพิมพ์วิกิพีเดีย ฉันได้ตรวจสอบการอ้างอิงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ( 1 , 2 , 3 )
ฉันมีลำดับสัมประสิทธิ์ถูกต้อง หากคุณเปรียบเทียบกับการสั่งซื้อของ Wikipedia โปรดทราบว่าการเรียงลำดับของแอปพลิเคชันผู้ให้บริการจะทำงานจากขวาไปซ้าย เลขที่ฉันเห็นด้วยกับขนมหวาน / Rozmus และถ้าฉันลองสั่งอีกครั้งผลลัพธ์จะแย่ลง

ความสงสัยของฉัน:

$N=360$
การทดสอบไม่ถูกต้อง: มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับการทดสอบของฉันทำให้วิธีการเรียงลำดับที่ 3 ของ Ruth ทำหน้าที่เหมือนวิธีการสั่งซื้อที่สูงกว่าใช่ไหม

python time-integration

— ccorn
แหล่งที่มา

N

$N$

N

$N$

@ Kirill: ทำงานในเรื่องนั้น จะแก้ไขในไม่ช้า

— ccorn

สิ่งหนึ่งที่ฉันสงสัยเกี่ยวกับการเลือกเชิงเส้น rhs: การตัดทอนข้อผิดพลาดของวิธีการมักขึ้นอยู่กับอนุพันธ์ระดับสูงของ rhs ดังนั้นถ้าอนุพันธ์สูงของ rhs หายไปคุณอาจสังเกตพฤติกรรมการบรรจบแปลก ๆ มันอาจจะคุ้มค่าที่จะลองใช้จังหวะแปลก ๆ

— คิริลล์

$N$ $N$

ϵ (N) = ‖ \tilde{z} (2 π) - \tilde{z} (0) ‖_{2} where \tilde{z} (t) = (\tilde{y} (t), {\tilde{y}}^{'} (t))

$\epsilon(N) = \|\tilde z(2\pi) - \tilde z(0)\|_2 \quad\text{where}\quad \tilde z(t) = \left(\tilde{y}(t),\tilde y'(t)\right)$

\tilde{z}

$\tilde z$

$4$ $\frac{1}{100}$

น่าสนใจ ฉันจะต้องตรวจสอบเพิ่มเติมอาจลองทดสอบอื่น ๆ

อย่างไรก็ตามนี่คือส่วนเพิ่มเติมของสคริปต์ Python สำหรับพล็อตข้อผิดพลาด:

def int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, coeffs):
    e = np.empty((len(Ns),))
    for i,N in enumerate(Ns):
        t = np.linspace(qvt0[2], qvt1[2], N+1)
        q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, coeffs)
        e[i] = np.math.sqrt((q[-1]-qvt1[0])**2+(v[-1]-qvt1[1])**2)
    return e

qvt1 = (1.0, 0.0, tmax)
Ns = [12,16,20,24,32,40,48,64,80,96,128,160,192,
      256,320,384,512,640,768,1024,1280,1536,2048,2560,3072]

fig, ax = plt.subplots(1)
ax.set_xscale('log')
ax.set_xlabel(r"$N$")
ax.set_yscale('log')
ax.set_ylabel(r"$\|z(2\pi)-z(0)\|$")
ax.set_title(r"Error after 1 period vs #steps")
ax.grid(True)
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, leap2)
ax.plot(Ns, e, label='leap2', color='black')
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, ruth3)
ax.plot(Ns, e, label='ruth3', color='red')
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, ruth4)
ax.plot(Ns, e, label='ruth4', color='blue')
ax.legend(loc='upper right')
fig.show()

— ccorn
แหล่งที่มา

ไม่เกี่ยวข้องกับคำถาม แต่คุณสามารถเปลี่ยนแปลงและอัปเดตในคำถามแทนการโพสต์เป็นคำตอบแยกต่างหากได้หรือไม่? ทุ่งนี้รักษาการประชุมที่ตอบควรตอบคำถาม

— คิริลล์

@ Kirill: มันเป็นคำตอบ รู ธ 3มีลำดับที่สูงขึ้นและค่าคงที่ที่นี่ลดลง ค้นพบเนื่องจากข้อเสนอแนะของคุณในการทำพล็อตข้อผิดพลาดบันทึกการทำงาน ดังนั้นจึงมีคำตอบให้กับคำถามและฉันจะไม่เปลี่ยนประเด็นคำถามเมื่อได้รับคำตอบแล้วแม้ว่าฉันจะแต่งคำตอบก็ตาม

— ccorn

ที่กล่าวว่าฉันยินดีที่จะรับการวิเคราะห์เพิ่มเติม (Self-คำถามตอบได้รับการยอมรับโดยอัตโนมัติ แต่หนึ่งสามารถเปลี่ยนที่ฉันคิดว่า.)

— ccorn

p_{0} \neq 0

$p_0\neq0$

V (q) = 1 / q + \log q

$V(q)=1/q+\log q$

V

$V$

— คิริลล์

นี่คือการแสดงผลของ superconvergence ปัญหาการทดสอบอย่างง่ายเช่นนี้จบลงด้วยการมีปัญหานี้ในหลายกรณี การใช้สมการเชิงเส้นสามารถให้พฤติกรรมนี้และหลายครั้งที่เงื่อนไขแปลก ๆ ของซีรีส์เทย์เลอร์สามารถยกเลิกเมื่อเกิดเหตุการณ์ขึ้น ปัญหาการทดสอบแบบไม่เชิงเส้นที่ไม่มีโซลูชันการวิเคราะห์มีโอกาสเกิดขึ้นได้น้อยกว่ามาก

— Chris Rackauckas

$\ddot q=-q$ $q(0)=1,\dot q(0)=0$

ตามที่คาดไว้กราฟสำหรับการเพิ่มจำนวนของช่วงเวลาย่อยเข้าใกล้เส้นโค้งขีด จำกัด มากขึ้นซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ข้อผิดพลาดนำ แต่พล็อตเรื่องเดียวการบรรจบกันนี้อย่างรวดเร็วอย่างเห็นได้ชัดแทบไม่มีความแตกต่างเลย ซึ่งหมายความว่าแม้จะมีขนาดขั้นตอนที่ค่อนข้างใหญ่คำว่าข้อผิดพลาดนำจะเป็นเงื่อนไขอื่น ๆ ทั้งหมด

$p$

$q$ $t=2\pi$ $p$

$q$ $3\pi/2$

$\ddot q=-\sin(q)$ $q(0)=1.3,~\dot q(0)=0$

— Lutz Lehmann
แหล่งที่มา