Multigrid บนกริด“ ไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างสมบูรณ์”

การแนะนำ Multigrid ตามปกติจะใช้ตารางสี่เหลี่ยม การแก้ไขค่านั้นตรงไปข้างหน้า: แค่สอดแทรกเชิงเส้นตรงบนขอบระหว่างสองโหนดที่อยู่ติดกันของกริดหยาบเพื่อค้นหาค่าของโหนดกริดที่ดีบนขอบนั้น

สำหรับแอปพลิเคชั่น FEM ฉันมีกริดซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยม "ทอพอโลยี" เพื่อให้การเชื่อมต่อโหนดเหมือนในกริดสี่เหลี่ยม อย่างไรก็ตามโหนดนั้นไม่ได้เรียงตัวกันอย่างสมบูรณ์บนกริด แต่อาจเดินทางระยะทางเล็ก ๆ เพื่อให้เข้ากับรูปทรงเรขาคณิตได้ดีขึ้นในขณะที่ยังคงรักษาการเชื่อมต่อเช่นเดียวกับในกริดสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ

ตาข่ายลักษณะสิ่งที่ต้องการที่: ตาข่ายตัวอย่างเช่น คุณเห็น: การเชื่อมต่อเป็น "รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติ" แต่ตำแหน่งของโหนดไม่

ฉันสามารถภาพแผนการแก้ไขทางเรขาคณิต "สมเหตุสมผล" หลายแบบสำหรับการตั้งค่าเช่นนี้

คำถามทั่วไปคือ: Multigrid ต้องการกริดสี่เหลี่ยมที่เรียงตัวกันอย่างสมบูรณ์หรือจะทำงานกับสถานการณ์ที่อธิบายข้างต้นได้หรือไม่ตราบใดที่การแก้ไขเป็น "ดี"? หรือดีกว่าที่จะใช้พีชคณิตแบบหลายจุดในกรณีนั้น (ซึ่งฉันไม่ชอบเพราะมันไม่ได้ใช้งานง่ายเหมือน multigrid ทางเรขาคณิต)

Multigrid ไม่จำเป็นต้องมีตารางคาร์ทีเซียน (สี่เหลี่ยม) เครื่องแบบ สิ่งที่จำเป็นคือคุณสามารถกำหนดระดับละเอียดและระดับหยาบ (อาจเรียกซ้ำถ้าคุณต้องการเปลี่ยนจากสองระดับเป็นแบบแผนหลายระดับ) และคุณสามารถกำหนดตัวดำเนินการแก้ไขระหว่างระดับเหล่านี้ วิธีที่ง่ายที่สุดในการอธิบายเรื่องนี้คือถ้าคุณมีตารางคาร์ทีเซียนจริง ๆ แต่คุณสามารถเริ่มต้นด้วยตาข่ายหยาบใด ๆ ปรับแต่งครั้งเดียวและเช่นนี้: คุณมีตาข่ายที่ละเอียดกว่า

กล่าวอีกนัยหนึ่งเป็นการง่ายที่สุดที่จะคิดว่าตาข่ายที่เหมาะกับมัลติกริดนั้นไม่ใช่ตาข่ายที่ดีและวิธีการหาตาข่ายที่หยาบกว่านั้น แต่เริ่มต้นด้วยตาข่ายหยาบที่คุณจะได้ระดับที่ดีกว่าโดยการปรับแต่งที่สม่ำเสมอ แบ่งออกเป็นสี่ขนาดเล็ก) เนื่องจากการปรับแต่งเครื่องแบบเป็นไปได้เสมอนี้จะช่วยให้คุณมีลำดับชั้น สิ่งนี้ตรงกันข้ามกับการทำให้หยาบซึ่งเป็นไปไม่ได้เสมอหากคุณได้รับตาข่ายเฉพาะและทำให้การกำหนดลำดับชั้นของตาข่ายมีความซับซ้อนมากขึ้น (ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมผู้คนถึงได้ใช้วิธีพีชคณิต multigrid เพื่อกำหนดระดับความหยาบบนพื้นฐานของเมทริกซ์โดยไม่ต้องนึกถึงพื้นฐานที่มันถูกสร้างขึ้นมา)

ให้บอกว่าคุณมีตารางต่อไปนี้ประกอบด้วยองค์ประกอบสี่เหลี่ยม:

ตอนนี้ถ้าคุณทำการประมาณค่าของคุณโดยสมมติว่าเป็นตารางสี่เหลี่ยมที่มีโครงสร้างปกติแล้วคุณจะได้รับการแนะนำข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการแก้ไขที่ไม่ถูกต้องนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อคุณ จำกัด เวกเตอร์ที่เหลือของคุณและเมื่อคุณขยายเวกเตอร์ข้อผิดพลาดของคุณจะมีข้อผิดพลาดจากการแก้ไข

ทีนี้ถ้ากริดของคุณ "ปิด" เป็นกริดคาร์ทีเซียนที่มีโครงสร้างแบบปกติแล้วนี่อาจใช้งานได้อย่างน้อยในตอนแรก แต่ฉันสงสัยว่าหนึ่งในสองสิ่งจะเกิดขึ้น

1) คุณอาจพบว่า Multigrid เริ่มมาบรรจบกันในตอนแรก หลังจากเริ่มต้นข้อผิดพลาดของคุณคือ anyways ขนาดใหญ่และการประมาณ "โดยประมาณ" ของคุณจริง ๆ แล้วก็หมายความว่าบางโหนดจะถูกแทนเล็กน้อยในขณะที่บางคนอยู่ภายใต้การนำเสนอเล็กน้อย อย่างไรก็ตามคุณอาจพบว่าการบรรจบกันหยุดนิ่งในขณะที่การแก้ปัญหามีความแม่นยำมากขึ้นและการแก้ไขข้อผิดพลาดมีความสำคัญมากขึ้น

2) ความเป็นไปได้อีกอย่างหนึ่งก็คือมัลติกริดจะมาบรรจบกัน แต่ไม่เร็วเท่าที่ควรถ้าคุณใช้การแก้ไขที่ถูกต้อง

โดยพื้นฐานด้วยการแก้ไขของคุณคุณกำลังชั่งน้ำหนักความสำคัญของโหนดบางอย่างไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่นใน 2D หากคุณรับน้ำหนักโหนดที่ระบุเป็น:

เมื่ออยู่ในความจริงเพราะตารางของคุณไม่ตรงกับที่ควรจะเป็น:

จากนั้นจะส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดบางอย่าง ข้อผิดพลาดนี้จะป้องกันการรวมตัวหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับว่ากริดของคุณอยู่ไกลจากการเป็นแบบคาร์ทีเซียนมากแค่ไหน

ในขณะที่ AMG นั้นยากที่จะเข้าใจ / ใช้งานดูเหมือนว่ามันเป็นวิธีที่ถูกต้องสำหรับกริดของคุณ การใช้ Multigrid ทางเรขาคณิตกับกริดสี่เหลี่ยม "โดยประมาณ" อาจใช้งานได้ แต่ฉันคิดว่ามันเป็นวิธีแก้ปัญหาแบบวงดนตรีที่ดีที่สุด หวังว่านี่จะช่วยได้

ปรับปรุง : ฉันคิดว่าอาจมีความสับสนในคำตอบของฉัน ฉันไม่ได้บอกว่ามัลติกริดทางเรขาคณิตจะใช้ได้กับตาข่ายคาร์ทีเซียนเท่านั้น แต่การนิยามการแก้ไข (และการ จำกัด ดังนั้น) บนตาข่ายคาร์ทีเซียนนั้นง่ายในขณะที่ตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้างอาจเป็นเรื่องยาก ตัวอย่างเช่นพิจารณากรณีของโดเมน 2D ที่เรียบง่ายด้วยตาข่ายสามเหลี่ยม การปรับแต่งตาข่ายนี้เป็นเรื่องง่าย - อย่างน้อยต้องมีแนวคิด - แต่คุณจะกำหนดตัวดำเนินการแก้ไขระหว่างตาข่ายหยาบและตาข่ายได้อย่างไร ฉันชอบ AMG เพียงเพราะมันทำงานได้ดีกว่าตัวแก้ "กล่องดำ" นั่นคือไม่ต้องการข้อมูลเกี่ยวกับตาข่ายที่กำลังจะตาย แต่นี่เป็นเพียงความลำเอียงของฉัน Multigrid ทางเรขาคณิตสามารถทำงานได้ตราบใดที่คุณสามารถให้บริการการแก้ไขที่แม่นยำ