เมื่อใดควรใช้ log1p และ expm1

ฉันมีคำถามง่ายๆที่ยากสำหรับ Google (นอกเหนือจากสิ่งที่บัญญัติไว้ในสิ่งที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทุกคนควรรู้เกี่ยวกับกระดาษคำนวณเลขทศนิยม )

เมื่อใดควรใช้ฟังก์ชันเช่นlog1pหรือexpm1ใช้แทนlogและexp? เมื่อใดที่ไม่ควรใช้ การใช้งานที่แตกต่างกันของฟังก์ชั่นเหล่านั้นแตกต่างกันอย่างไรในแง่ของการใช้งาน?

เราทุกคนรู้ว่า

$$\begin{equation} \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac12 x^2 + \dots \end{equation}$$ บอกเป็นนัยสำหรับ$|x| \ll 1$เรามี$\exp(x) \approx 1 + x$x ซึ่งหมายความว่าหากเราต้องประเมินค่าใน floating point$\exp(x) -1$, สำหรับ$|x| \ll 1$ภัยพิบัติการยกเลิกสามารถเกิดขึ้นได้

สิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายในไพ ธ อน:

>>> from math import (exp, expm1)

>>> x = 1e-8
>>> exp(x) - 1
9.99999993922529e-09
>>> expm1(x)
1.0000000050000001e-08

>>> x = 1e-22
>>> exp(x) - 1
0.0
>>> expm1(x)
1e-22

ค่าที่แน่นอนคือ

$$\begin{align} \exp(10^{-8}) -1 &= 0.000000010000000050000000166666667083333334166666668 \dots \\ \exp(10^{-22})-1 &= 0.000000000000000000000100000000000000000000005000000 \dots \end{align}$$

โดยทั่วไปการดำเนินการ "ถูกต้อง" ของexpและexpm1ควรถูกต้องไม่เกิน 1ULP (เช่นหนึ่งหน่วยของสถานที่สุดท้าย) อย่างไรก็ตามเนื่องจากการบรรลุความแม่นยำนี้ส่งผลให้มีรหัส "ช้า" บางครั้งมีการใช้งานที่รวดเร็วและแม่นยำน้อยกว่า ตัวอย่างเช่นใน CUDA เรามีexpfและexpm1fที่fย่อมาจากอย่างรวดเร็ว ตามคู่มือการเขียนโปรแกรม CUDA C แอป D the expfมีข้อผิดพลาดของ 2ULP

หากคุณไม่สนใจเกี่ยวกับข้อผิดพลาดตามลำดับของ ULPS เพียงไม่กี่ครั้งการใช้งานฟังก์ชันเลขชี้กำลังต่างกันจะเท่ากัน แต่ระวังว่าข้อบกพร่องอาจถูกซ่อนอยู่ที่ไหนสักแห่ง ... (จำข้อผิดพลาด Pentium FDIV ได้ไหม)

ดังนั้นจึงสวยชัดเจนว่าexpm1ควรจะใช้ในการคำนวณ$\exp(x)-1$สำหรับธุรกิจขนาดเล็กx$x$การใช้งานกับ$x$ทั่วไปนั้นไม่เป็นอันตรายเนื่องจากexpm1คาดว่าจะแม่นยำตลอดช่วงเต็มรูปแบบ:

>>> exp(200)-1 == exp(200) == expm1(200)
True

(ในตัวอย่างข้างต้น$1$มีค่าต่ำกว่า 1ULP ของ$\exp(200)$ดังนั้นทั้งสามนิพจน์จะคืนค่าหมายเลขทศนิยมเหมือนกันทุกประการ)

การสนทนาที่คล้ายกันมีไว้สำหรับฟังก์ชันผกผันlogและlog1pตั้งแต่$\log(1+x) \approx x$สำหรับ$|x| \ll 1$ 1

หากต้องการขยายความแตกต่างระหว่างlogและlog1pอาจช่วยในการเรียกคืนกราฟหากลอการิทึม:

log$x$$0$$\ln(x)$$- \infty$$x$$0$$\ln(x)$$\ln(\frac{1}{e}) = -1$$\ln(\frac{1}{e^{10}}) = -10$

ในทางกลับกันเช่น $x$ วิธีการ $0$, คุณค่าของ $\ln(x+1)$ วิธีการ $0$จากทิศทางบวก ตัวอย่างเช่น$\ln(1+\frac{1}{e}) \sim 0.31$ และ $\ln(1+\frac{1}{e^{10}}) \sim 0.000045$. ดังนั้นlog1pสร้างค่าบวกเท่านั้นและกำจัด 'อันตราย' ของตัวเลขติดลบจำนวนมาก ซึ่งโดยทั่วไปจะรับประกันการกระจายที่เป็นเนื้อเดียวกันมากขึ้นเมื่อชุดข้อมูลมีตัวเลขใกล้เคียงกับศูนย์

กล่าวโดยย่อถ้าชุดข้อมูลมีค่ามากกว่าทั้งหมด $1$logปกติแล้วก็ไม่เป็นไร แต่ถ้าชุดข้อมูลมีตัวเลขอยู่ระหว่าง$0$ และ $1$แล้วlog1pโดยปกติจะดีกว่า