การฉายพื้นที่ว่างของ

เมื่อพิจารณาจากระบบที่ฉันได้อ่านว่าในกรณีที่การทำซ้ำ Jacobi ถูกใช้เป็นนักแก้ปัญหาวิธีนี้จะไม่มาบรรจบกันถ้าไม่มีศูนย์ องค์ประกอบใน null พื้นที่ของ ดังนั้นวิธีหนึ่งอย่างเป็นทางการสามารถระบุได้อย่างไรว่าหากมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งประกอบไปด้วยพื้นที่ว่างของ , วิธี Jacobi นั้นไม่เป็นการรวมกัน? ฉันสงสัยว่าจะทำอย่างไรให้เป็นทางการทางคณิตศาสตร์ได้เนื่องจากส่วนหนึ่งของฉากตั้งฉากกับพื้นที่ว่างนั้นมาบรรจบกัน

A x = b,

$Ax=b,$

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

b

$b$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

ดังนั้นโดยการฉายช่องว่างว่างของจากแต่ละการวนซ้ำมันจะมาบรรจบกัน (หรือ?) $A$

.........

ฉันสนใจเป็นพิเศษในกรณีของ ที่เป็นเมทริกซ์ Laplacian แบบสมมาตรที่มีช่องว่างว่างที่เวกเตอร์และมีองค์ประกอบเป็นศูนย์ใน null-space ของ ,ที่เป็นเมทริกซ์กึ่งกลาง นั่นหมายความว่าย้ำ Jacobi แต่ละคนจะมีช่องว่างของคาดการณ์ไว้เช่น. แต่ละ iterate จะอยู่กึ่งกลาง ? ฉันถามสิ่งนี้ตั้งแต่นั้นมาก็ไม่จำเป็นต้องฉายว่างของจาก Jacobi iterates (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งถึงจุดศูนย์กลาง

L x = b,

$Lx=b,$

L

$L$

1_{n} = [1 \dots 1]^{T} \in R^{n}

$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$

b

$b$

L

$L$

J ข = ข,

$Jb=b,$

J = I - \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{T}

$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$

L

$L$

L

$L$ iterates)

— usero
แหล่งที่มา

คำถามนี้อาจเกี่ยวข้องกับคุณเช่นกัน: scicomp.stackexchange.com/questions/1505/…

— shuhalo

ขอบคุณ ฉันทำสารสกัดจากความคิดเห็นของฉันจริง ๆ แล้วเนื่องจากคำถามนั้นควรได้รับความสนใจ อย่างไรก็ตามข้างต้นไม่ได้รับการแก้ไข (ไม่เป็นทางการ, อย่างน้อย)

— usero

โอ้ไม่น่าอายฉันไม่ได้ตรวจสอบว่าเป็นคำถามของคุณเอง

— shuhalo

@JedBrown คำตอบของคุณในscicomp.stackexchange.com/questions/1505/…เป็นแรงบันดาลใจให้กับคำถามนี้ ฉันคิดว่ามันสมควรได้รับการพิจารณาอย่างอิสระ ฉันเดาว่าคุณจะสามารถพิจารณาคำถามข้างต้น

— usero

เงื่อนไขที่ถูกต้องสำหรับ solvability มีอะไรจะทำอย่างไรกับพื้นที่ว่างของ(เว้นแต่สมมาตร) แต่มีพื้นที่ว่างของTหากแล้วหมายความว่าดังนั้นจะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ศูนย์ใด ๆ ของ (มิฉะนั้นมีไม่มีวิธีแก้และ Jacobi ย้ำไม่มีเหตุผล เพื่อมาบรรจบกัน) $A$ $A$ $A^T$ $A^Tu=0$ $Ax=b$ $u^Tb=u^TAx=0$ $b$ $A^T$

แต่ถ้าเป็นกรณีนี้การแก้ปัญหาที่มีอยู่และในกรณีสี่เหลี่ยมมีจำนวนมากมาย

ในกรณีที่แปลกประหลาดอย่างที่ไม่มีใครรู้ว่าสภาพนี้เป็นที่พอใจ (และมันจะถูกทำให้เสียโดย roundoff อยู่แล้ว) โดยทั่วไปเราจะแก้ปัญหาโดยใช้ปัญหากำลังสองน้อยที่สุด ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาเชิงบรรทัดฐานขั้นต่ำให้ใช้การไล่ระดับสีแบบคอนจูเกตในสมการปกติ นี้ต้องใช้รหัสที่คุณคูณโดยและT(เนื่องจากมีเพียงรูทีนสำหรับการคูณด้วยเราสามารถใช้ GMRES แทนโดยมีคุณสมบัติการลู่เข้าที่คาดการณ์ได้น้อยกว่า) $A$ $A^T$ $A$

— อาร์โนลด์ Neumaier
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก. โปรดทราบว่าฉันสนใจเฉพาะในวิธี Jacobi (เหตุผลทฤษฎีมิฉะนั้นฉันยอมรับข้อเสนอแนะของคุณเกี่ยวกับทางเลือก.) ดังนั้น "ฉันสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่

มีองค์ประกอบศูนย์ใน null พื้นที่ของ. ไม่ นั่นหมายความว่า Jacobi iterate แต่ละคนจะมีพื้นที่ว่างของ

ฉายออกมาฉันถามสิ่งนี้ตั้งแต่นั้นมาก็ไม่จำเป็นต้องฉายว่างของ

จาก Jacobi iterates (ดังนั้นเมื่อ b มี null- พื้นที่ของ

ฉายออกมา) "

b

$b$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— usero

@usero: ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วว่าช่องว่างของ

ไม่ส่งผลต่อปัญหา หรือเมทริกซ์สมมาตรของคุณคืออะไร? ยิ่งไปกว่านั้นวิธีการของจาโคบีไม่ได้รักษาความเป็นเอกภาพของพื้นที่ว่างของ

เว้นแต่

จะมีเส้นทแยงมุมคงที่

A

$A$

A^{T}

$A^T$

A

$A$

— อาร์โนลด์ Neumaier

ฉันแก้ไขคำถามแล้ว เมทริกซ์

เป็นสมมาตร (Laplacian) ที่มีพื้นที่ว่างที่ถูกทอดโดยเวกเตอร์ของทุกคน ดังนั้น Jacobi แต่ละคนจะย้ำกึ่งกลางในกรณีที่

อยู่กึ่งกลาง (ตามที่นิยามไว้ข้างต้น)? ฉันขอโทษสำหรับความสับสนที่อาจเกิดขึ้นที่ฉันทำ

A

$A$

b

$b$

— usero

@usero: ถ้าเส้นทแยงมุมของ

คงที่ใช่ WLOG รายการคือ 1. เส้นทแยงมุมแล้ว

และ Jacobi ย้ำคือ

หาก

และ

แล้วโดยสมมาตร

ดังนั้น

A

$A$

A = I - B

$A=I-B$

x_{0} = b

$x_0=b$

x_{n + 1} = b + B x_{n}

$x_{n+1}=b+Bx_n$

A u = 0

$Au=0$

u^{T} b = 0

$u^Tb=0$

u^{T} B = u^{T}

$u^TB=u^T$

u^{T} x_{n}

$u^Tx_n$ มีค่าคงที่โดยการเหนี่ยวนำดังนั้นศูนย์ - แต่ทำไมคุณถึงสนใจวิธีการของจาโคบี? มันช้ามาก !

— Arnold Neumaier

ตกลงดังนั้นตัวอักษร Jacobi จะไม่อยู่กึ่งกลางกับศูนย์กลาง

และ

มีเส้นทแยงมุมไม่คงที่ที่เป็นบวกนั่นคือ

สำหรับ

บางตัว โปรดทราบว่าความสนใจของฉันใน Jacobi เป็นทฤษฎีอย่างหมดจด สำหรับการปฏิบัตินั้นฉันขอรับรองคำแนะนำของคุณอย่างแน่นอน ขอบคุณ.

B

$B$

A

$A$

d i a g (A) \neq c \cdot I

$diag(A)\neq c\cdot I$

c \in R

$c\in \mathbb{R}$

— usero