ส่วนประกอบสำคัญในพื้นที่บันทึกการทำงาน

10

ฉันกำลังทำงานกับฟังก์ชั่นซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะราบรื่นกว่าและทำงานได้ดีกว่าในพื้นที่ล็อก - ล็อก - นั่นคือที่ที่ฉันทำการแก้ไข / คาดการณ์ ฯลฯ และทำงานได้ดีมาก มีวิธีรวมฟังก์ชันตัวเลขเหล่านี้ในพื้นที่บันทึกล็อกหรือไม่

เช่นฉันหวังว่าจะใช้กฎ trapezoidal แบบง่าย ๆ ในการหาอินทิกรัลสะสม (เช่นใน python, use scipy.integrate.cumtrapz) เพื่อหา $F(r)$ เซนต์

F (r) = \int_{0}^{r} y (x) d x

$F(r) = \int_0^r y(x) \, dx$

แต่ฉันหวังว่าจะใช้ค่า $log(y)$ และ $log(x)$ , แทน $y$ และ $x$ (เมื่อเป็นไปได้).

numerics integration

— DilithiumMatrix
แหล่งที่มา

ฉันพบลิงค์นี้ ( my.originlab.com/forum/topic.asp?TOPIC_ID=1251 ) ซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นแบบเดียวกับที่ฉันจะไปโดยทั่วไป: คำนวณความชันและจุดตัดในพื้นที่ล็อกบันทึก จากนั้นแปลงเป็นพื้นที่ lin-lin รวมและประเมินผล

— MrMas

6

คุณสามารถเปลี่ยนตัวแปรได้ การตั้งค่า $a=log(x)$ , $b(a)=log(y(x))$ . อินทิกรัลกลายเป็น

$F(r)=\int^{log(r)}_{-\infty} exp(a+b) da$

คุณต้องระวังนิดหน่อยเพราะคุณรวมตัวกัน $-\infty$ . สิ่งที่คุณต้องทำอย่างแน่นอนจะขึ้นอยู่กับอะไร $y(x)$ ดูเหมือนกับ.

— เหล็กดามัสกัส
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณ! แต่ฉันคิดว่านี่เป็นเพียงการแสดงอินทิกรัลในพื้นที่เชิงเส้นอย่างมีประสิทธิภาพ บางทีฉันขอสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ แต่ ...

— DilithiumMatrix

2

ไม่สิ่งนี้สำคัญในพื้นที่บันทึก เมื่อแยกแยะ

d a

$da$ มีขนาดเท่ากันในพื้นที่บันทึกไม่ใช่พื้นที่เชิงเส้น

— เหล็กดามัสกัส

1

@DilithiumMatrix นั้นถูกต้อง: การแยกส่วนของ

x

$x$ ค่าอยู่ในพื้นที่บันทึก แต่การแก้ไขของ

y

$y$ ค่าที่เกิดขึ้นในพื้นที่เชิงเส้น ดังนั้นถ้าคุณต้องใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูฟังก์ชันที่รวมกันอย่างมีประสิทธิภาพคือเชิงเส้นเป็นจำนวนเต็มในพล็อตที่มีแกน x แบบลอการิทึมและแกน y เชิงเส้น

— burnpanck

3

ฉันไม่ได้ใช้หลาม แต่ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องแล้ว

F (r) = \int_{0}^{r} y (x) d x

$F(r)=\int_0^ry(x)dx$ คุณกำลังคิดอะไรบางอย่างเช่น

F = i n t e g r a t e (y, x)

$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\mathbf{y},\mathbf{x})$ ที่ไหน

F = [F_{1}, . . ., F_{n}]

$\mathbf{F}=[F_1,...,F_n]$ คือการสุ่มตัวอย่างเวกเตอร์อินทิกรัลเหนือกริด

x

$\mathbf{x}$ .

อย่างไรก็ตามคุณไม่มีตัวอย่างของ $x$ และ $y$ แต่คุณมีตัวอย่างของ $\hat{x}=\log(x)$ และ $\hat{y}=\log(y)$ .

แน่นอนวิธีการที่ง่ายที่สุดจะเป็น

F = i n t e g r a t e (\exp (\hat{y}), \exp (\hat{x})),

$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\exp(\mathbf{\hat{y}}),\exp(\mathbf{\hat{x}})) ,$ แต่นี่อาจเป็นข้อผิดพลาดได้ง่ายเพราะ

y (x)

$y(x)$ ไม่ราบรื่นแม้ว่า

\hat{y} (\hat{x})

$\hat{y}(\hat{x})$ คือ.

ทีนี้กฎรูปสี่เหลี่ยมคางหมูถือว่าอินพุตของคุณเป็นหลัก $y(x)$ เป็นเส้นตรงเชิงเส้น ดังนั้นการวางนัยทั่วไปจะให้คุณสมมติว่า $\hat{y}(\hat{x})$ เป็นเส้นตรงเชิงเส้น

ในกรณีนี้ให้นิยาม $\Delta F_k=F_{k+1}-F_k$ , คุณมี

Δ F_{k} = \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} y (x) d x = \int_{{\hat{x}}_{k}}^{{\hat{x}}_{k + 1}} e^{\hat{y} (\hat{x})} e^{\hat{x}} d \hat{x} = \int_{{\hat{x}}_{k}}^{{\hat{x}}_{k + 1}} \tilde{y} (\hat{x}) d \hat{x}

$\Delta F_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}y(x)dx =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}e^{\hat{y}(\hat{x})}e^\hat{x}d\hat{x} =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}\tilde{y}(\hat{x})d\hat{x}$

จากนั้นกำหนด $t=(\hat{x}-\hat{x}_k)/\Delta \hat{x}_k$ , คุณมี

{\hat{y}}_{k + t} \approx {\hat{y}}_{k} + t Δ {\hat{y}}_{k}

$\hat{y}_{k+t} \approx \hat{y}_k + t \Delta \hat{y}_k$ และ

\tilde{y} (t) \approx a e^{b t}

$\tilde{y}(t) \approx a e^{bt}$ กับ

a = e^{{\hat{y}}_{k} + {\hat{x}}_{k}}

$a=e^{\hat{y}_k+\hat{x}_k}$ และ

b = Δ {\hat{y}}_{k} + Δ {\hat{x}}_{k}

$b=\Delta \hat{y}_k+\Delta \hat{x}_k$ .

ดังนั้นอินทิกรัลจึงกลายเป็น

Δ F_{k} \approx a Δ \hat{x} \int_{0}^{1} e^{b t} d t = a Δ \hat{x} \frac{e^{b} - 1}{b}

$\Delta F_k \approx a \Delta \hat{x} \int_0^1e^{bt}dt = a \Delta \hat{x} \frac{e^b-1}{b}$

ใน Matlab สิ่งนี้จะดูเหมือน

dlogx=diff(logx); dlogy=diff(logy); k=1:length(logx)-1;  
b=dlogx+dlogy; a=exp(logx+logy);  
dF=a(k).*dlogx.*(exp(b)-1)./b;  
F=cumsum([0,dF]);

หวังว่านี่จะช่วยได้!

(แก้ไข: คำตอบของฉันเป็นคำตอบเดียวกับคำตอบที่กระชับกว่าที่ Damascus Steel ให้เมื่อฉันพิมพ์ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือฉันพยายามให้คำตอบเฉพาะสำหรับกรณีที่ "เจาะจง" $y(x)$ "เป็นเส้นตรงจำนวนเต็ม $\hat{y}(\hat{x})$ discretized กว่าไม่ต่อเนื่อง $\mathbf{\hat{x}}$ ตาข่ายด้วย $F(\hat{x}_1)=0$ .)

— GeoMatt22
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการตอบสนอง (ชัดเจนมาก) ของคุณ แต่อย่างที่ฉันเพิ่งพูดไปในการตอบสนองต่อ @DamascusSteel --- ฉันคิดว่านี่เป็นเพียงการคืนค่าอินทิกรัลให้กับพื้นที่เชิงเส้นเชิงเส้นและสูญเสียผลประโยชน์จากพื้นที่บันทึก

— DilithiumMatrix

1

@DilithiumMatrix: นี่ไม่ใช่คำตอบเดียวกับ DamascusSteel โปรดทราบว่าการใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับคำตอบของ DamascusSteel จะไม่ให้

\frac{\exp (b) - 1}{b}

$\frac{\exp(b)-1}{b}$ ปัจจัย.

— burnpanck

3

หากฟังก์ชั่นดูราบรื่นในพล็อตการบันทึกล็อกคุณสามารถแก้ไขโดยใช้กฏพลังงานในแต่ละช่วงเวลาได้ ดังนั้นระหว่างจุด $(x_i, y_i)$ และ $(x_{i+1}, y_{i+1})$ ภายใต้สมมติฐานที่ว่า $y = C_i x^{n_i}$ ภายในช่วงเวลา $i$ คุณได้รับ $n_i = \ln(y_i/y_{i+1})/\ln(x_i/x_{i+1})$ และ $C_i = \ln(y_i) - n_i\ln(x_i)$ . การสนับสนุนให้อินทิกรัลจากช่วงเวลา $i$ เป็นแล้ว

Δ F_{i} = \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} C_{i} x^{n_{i}} d x = {\begin{cases} \frac{C_{i}}{n_{i} + 1} (x_{i + 1}^{n_{i} + 1} - x_{i}^{n_{i} + 1}), & n_{i} \neq - 1 \\ C_{i} (\ln x_{i + 1} - \ln x_{i}), & n_{i} = - 1, \end{cases}

$\Delta F_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} C_i x^{n_i}dx = \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} \frac{C_i}{n_i + 1} (x_{i+1}^{n_i+1} - x_i^{n_i+1}), & n_i \neq -1 \\ C_i(\ln x_{i+1} - \ln x_i), & n_i=-1, \end{array} \right.$ เห็นได้ชัดว่าคุณต้องการความอดทนในการระบุกรณีพิเศษ

n_{i} = - 1

$n_i=-1$ ในการดำเนินการของคุณ

— Stefan B. Lindström
แหล่งที่มา

3

ฉันคิดว่ามีความสับสนเล็กน้อยกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในคำตอบก่อนหน้านี้บางส่วนรวมถึงข้อผิดพลาดบางอย่าง อินทิกรัลของฟังก์ชันบันทึกไม่ใช่บันทึกของอินทิกรัล โดยทั่วไปฉันคิดว่าเป็นการยากที่จะเขียนอินทิกรัลของฟังก์ชันที่รู้ว่าอินทิกรัลของบันทึก หากใครรู้วิธีที่จะทำฉันจะสนใจ

ในขณะเดียวกันวิธีการแก้ปัญหาของ @ Stefan ด้านบนเป็นวิธีการรวมฟังก์ชั่นในพื้นที่บันทึกล็อก จุดเริ่มต้นคือฟังก์ชั่นที่คุณกำลังทำอยู่นั้นเป็นเส้นตรงในพื้นที่บันทึกการทำงานสำหรับเซกเมนต์เล็ก ๆ พอ

จากนั้นหนึ่งสามารถเขียนสมการของบรรทัดที่จุดปลายเซ็กเมนต์:

\log (y_{1}) = m_{1} \log (x_{1}) + n_{1}

$\log(y_1)=m_1 \log(x_1) + n_1$

\log (y_{2}) = m_{1} \log (x_{1}) + n_{1}

$\log(y_2)=m_1 \log(x_1) + n_1$

ที่ไหน $m_1$ คือความชันของเส้นและ $n_1$ คือค่าตัดแกน y

ด้วยการลบทั้งสองเราสามารถหา:

m_{1} = \frac{\log (y_{1}) - l o g (y_{2})}{\log (x_{1}) - l o g (x_{2})}

$m_1=\frac{\log(y_1) -log(y_2)}{\log(x_1)-log(x_2)}$

และจากการทดแทน:

n_{1} = \log (y_{1}) - m_{1} \log (x_{1})

$n_1=\log(y_1)-m_1 \log(x_1)$

ถ้าใน log-log สมการของเซ็กเมนต์นั้นใกล้กับบรรทัดดังนั้นในพื้นที่ (linear) ปกติสมการของเซกเมนต์นั้นใกล้กับ exponential:

y (x) ≃ x^{m} e^{n}

$y(x)\simeq x^{m} e^{n}$

หากเรามีสูตรการวิเคราะห์สำหรับส่วนนี้มันง่ายที่จะรวม:

\int_{x_{1}}^{x_{2}} y (x) d x = \frac{e^{n_{1}}}{m_{1} + 1} (x_{2}^{m_{1} + 1} - x_{1}^{m_{1} + 1}), for m \neq - 1

$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = \frac{e^{n_1}}{m_1+1}(x_2^{m_1+1}-x_1^{m_1+1}), \,\, \text{for } \, m\neq -1$

และ

\int_{x_{1}}^{x_{2}} y (x) d x = e^{n_{1}} \log \frac{x_{2}}{x_{1}}, for m = - 1

$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = e^{n_1} \log \frac{x_2}{x_1},\, \,\text{for } \, m = -1$

สิ่งนี้ให้ความรู้สึกเหมือนการโกง แต่นี่เป็นการสุ่มตัวอย่างในพื้นที่บันทึกล็อกซึ่งเราสามารถประมาณฟังก์ชันในพื้นที่เชิงเส้นเป็นเลขชี้กำลังด้วยค่าพารามิเตอร์ที่ได้มาจากพื้นที่ล็อกบันทึก

— Elena Pascal
แหล่งที่มา

นี่คือ @elenapascal ที่ยอดเยี่ยมสิ่งนี้รบกวนฉันมานานกว่า 3 ปีแล้วและฉันคิดว่านี่เป็นวิธีแก้ปัญหา (หรือใกล้เคียง) ฉันไม่ได้ติดตามความสัมพันธ์ครั้งล่าสุดของคุณฉันไม่คิดว่าอินทิกรัลของ y เท่ากับบันทึก (x2 / x1)

— DilithiumMatrix

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าฉันนำบันทึกของอินทิกรัลมาทางซ้ายมือฉันจะได้คำที่คล้ายกันทางด้านขวามือ แต่ด้วยlog([x_2/x_1]^{m_1+1} + 1)นั่นคือ +1 เพิ่มเติมในอาร์กิวเมนต์ของบันทึก

— DilithiumMatrix

มันรบกวนฉันมากในวันนี้เช่นกันหลังจากฉันเขียนฉันก็รู้ว่า @tefan โพสต์คำตอบเดียวกัน สำหรับ m = -1 คุณเพียงแทนที่มันในนิยามของ y: y (x) = e ^ n / x ที่ให้บันทึก ฉันไม่แน่ใจว่าฉันติดตามโพสต์ที่สองของคุณ

— Elena Pascal

ฉันเพิ่งรู้สิ่งเดียวกัน แต่ฉันยังไม่เข้าใจจนกระทั่งฉันอ่านคำอธิบายของคุณ

— DilithiumMatrix

1

โซลูชันที่ฉันใช้นั้นเป็นการนำกฎของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมาใช้และใช้ประโยชน์จากscipy.misc.logsumexpฟังก์ชันเพื่อรักษาความแม่นยำ หากคุณมีฟังก์ชั่นบางอย่างlnyที่ส่งกลับค่าลอการิทึมจากyนั้นคุณสามารถทำได้เช่น:

จาก scipy.misc นำเข้า logsumexp
นำเข้าจำนวนมากเป็น np

xmin = 1e-15
xmax = 1e-5

# รับค่า x เว้นระยะลอการิทึม
xvs = np.logspace (np.log10 (xmin), np.log10 (xmax), 10,000)

# ประเมินฟังก์ชันของคุณที่ xvs
lys = lny (xvs)

# ดำเนินการรวมกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
deltas = np.log (np.diff (xvs))
logI = -np.log (2.) + logsumexp ([logsumexp (lys [: - 1] + deltas), logumexp (lys [1:] + deltas)])

ค่าlogIคือบันทึกของอินทิกรัลที่คุณต้องการ

xmin = 0เห็นได้ชัดว่านี้จะไม่ทำงานถ้าคุณจำเป็นต้องตั้งค่า แต่ถ้าคุณมีขีด จำกัด ล่างที่ไม่เป็นศูนย์บวกกับอินทิกรัลคุณก็สามารถเล่นกับจำนวนคะแนนในxvsการหาจำนวนที่อินทิกรัลรวมกัน

— แมตต์พิทคิน
แหล่งที่มา