ซ้ำ "แก้" สำหรับ

ฉันไม่สามารถจินตนาการได้ว่าฉันเป็นคนแรกที่คิดเกี่ยวกับปัญหาต่อไปนี้ดังนั้นฉันจะพอใจกับการอ้างอิง

สมมติว่าคุณมีผลบวกแน่นอนแบบสมมาตร $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$. $n$ มีขนาดใหญ่มากดังนั้นการถือครอง $\Sigma$ในความทรงจำเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตามคุณสามารถประเมินได้$\Sigma x$สำหรับใด ๆ $x \in \mathbb{R}^{n}$. ให้ไว้บ้าง$x \in \mathbb{R}^{n}$คุณต้องการที่จะหา $x^t\Sigma^{-1}x$.

ทางออกแรกที่นึกถึงคือการหา $\Sigma^{-1}x$ใช้ (พูด) การไล่ระดับสีผันคำกริยา อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าจะค่อนข้างสิ้นเปลือง - คุณต้องหาสเกลาร์และในกระบวนการที่คุณพบเวกเตอร์ขนาดมหึมา$\mathbb{R}^{n}$. มันดูเหมือนจะสมเหตุสมผลมากกว่าที่จะหาวิธีคำนวณสเกลาร์โดยตรง (เช่นโดยไม่ผ่าน$\Sigma^{-1}x$) ฉันกำลังมองหาวิธีการประเภทนี้

ฉันไม่คิดว่าฉันได้ยินเกี่ยวกับวิธีการใดที่ทำสิ่งที่คุณต้องการโดยไม่ต้องแก้ไข $y=\Sigma^{-1}x$.

ทางเลือกเดียวที่ฉันสามารถนำเสนอคือถ้าคุณรู้บางอย่างเกี่ยวกับ eigenvectors และ - ค่าของ $\Sigma$. สมมติว่าคุณรู้ว่าพวกเขาเป็น$\lambda_i,v_i$จากนั้นคุณสามารถเป็นตัวแทน $\Sigma=V^T L V$ ที่คอลัมน์ของ $V$ คือ $v_i$และ $L$เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีค่าลักษณะเฉพาะบนเส้นทแยงมุม ดังนั้นคุณมีสิ่งนั้น$\Sigma^{-1}=V^T L^{-1} V$ และคุณจะได้รับ

$$x^T \Sigma^{-1} x = x^T V^T L^{-1} V x = \sum_i \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2.$$ แน่นอนว่าต้องให้คุณเก็บค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดนั่นคือเมทริกซ์แบบเต็ม$V$. แต่ถ้าคุณบังเอิญรู้ว่ามีค่าลักษณะเฉพาะไม่กี่แห่ง$\Sigma$ มีขนาดเล็กพูดก่อน $m$และที่เหลือมีขนาดใหญ่มากจนคุณสามารถละเลยเงื่อนไขทั้งหมดได้ $\lambda^{-1}_i$ สำหรับ $i>m$จากนั้นคุณสามารถประมาณ $$x^T \Sigma^{-1} x = \sum_{i=1}^n \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2 \approx \sum_{i=1}^m \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2.$$ สิ่งนี้จะทำให้คุณต้องเก็บเท่านั้น $m$ เวกเตอร์แทนทั้งหมด $n$ eigenvectors

แน่นอนในทางปฏิบัติมันมักจะเท่ากันหรือยากกว่าในการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ $y=\Sigma^{-1}x$ หลายครั้ง.