ใน FEM ทำไมเมทริกซ์ความแข็งเป็นบวกแน่นอน?

10

ในชั้นเรียน FEM มักจะได้รับการยอมรับว่าเมทริกซ์ความแข็งแน่นอนแน่นอน แต่ฉันก็ไม่เข้าใจว่าทำไม มีใครให้คำอธิบายบ้างไหม?

ตัวอย่างเช่นเราสามารถพิจารณาปัญหาปัวซอง: ซึ่งเมทริกซ์ความแข็งคือ: ซึ่ง มีความสมมาตรและเป็นบวกแน่นอน ความสมมาตรเป็นคุณสมบัติที่เห็นได้ชัด แต่ความแน่นอนในเชิงบวกนั้นไม่ชัดเจนสำหรับฉัน

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$

finite-element matrix stiffness

— user123
แหล่งที่มา

1

นี่ขึ้นอยู่กับสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนที่คุณพยายามจะแก้ คุณสามารถเพิ่มสิ่งที่คุณสนใจได้หรือไม่?

— Christian Clason

สวัสดี @ChristianClason ขอขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ ฉันได้เพิ่มตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของปัญหานี้

— user123

3

Caveat: หากไม่มีเงื่อนไขขอบเขตเมทริกซ์ความแข็งของระบบที่สมบูรณ์ซึ่งประกอบจากเมทริกซ์องค์ประกอบจะไม่ได้รับการจัดอันดับอย่างเต็มที่เนื่องจากมีการแมปการเทียบเท่าของการเคลื่อนไหวของร่างกายที่แข็งท ดังนั้นเมทริกซ์ความแข็งสมบูรณ์ที่ดีที่สุดอาจเป็น semidefinite บวก อย่างไรก็ตามด้วยเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสมการเคลื่อนไหวของร่างกายที่เข้มงวดนั้นถูกปิดใช้งานและระบบที่ถูก จำกัด ก็จะไม่ทำงาน (ไม่เช่นนั้นจะแก้ปัญหาไม่ได้) ดังนั้นเพื่อค้นหาความชัดเจนเชิงบวกที่เกิดขึ้นจริงคุณต้องดูเมทริกซ์ย่อซึ่งเป็นผลมาจากการใช้เงื่อนไขขอบเขต

— ccorn

13

คุณสมบัติต่อจากคุณสมบัติของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (ส่วนที่อ่อนแอ) นี่เป็นหนึ่งในข้อดีของวิธีไฟไนต์อีลิเมนต์เมื่อเทียบกับเช่นวิธีผลต่างอันตะ

หากต้องการดูว่าสิ่งแรกจำได้ว่าวิธีไฟไนต์อิลิเมนต์เริ่มต้นจากรูปแบบที่อ่อนแอของสมการปัวซอง (ฉันสมมติว่าเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ที่นี่): หาเช่น คุณสมบัติที่สำคัญนี่คือ (สิ่งนี้ตามมาจากความไม่เท่าเทียมของPoincaré) $u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

ตอนนี้วิธีดั้งเดิม จำกัด องค์ประกอบคือแทนที่มิติ - อวกาศโดยขอบเขตมิติ จำกัดและหาเช่น คุณสมบัติที่สำคัญที่นี่คือ คุณกำลังใช้และ subspace ( discretization ที่สอดคล้องกัน ); นั่นหมายความว่าคุณยังมี $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

ตอนนี้สำหรับขั้นตอนสุดท้าย: ในการแปลงรูปแบบความแปรปรวนเป็นระบบของสมการเชิงเส้นคุณเลือกพื้นฐานของเขียนและแทรก ,เข้า(2)เมทริกซ์ความแข็งนั้นมีรายการ (ซึ่งสอดคล้องกับสิ่งที่คุณเขียน) $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

ตอนนี้ใช้โดยพลเวกเตอร์และชุดV_h จากนั้นเรามีโดยและ bilinearity ของ (กล่าวคือคุณสามารถย้ายสเกลาร์และผลรวมเป็นอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง) เนื่องจากเป็นกฎเกณฑ์นี่ก็หมายความว่านั้นแน่นอนแน่นอน $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR:เมทริกซ์ตึงเป็นบวกแน่นอนเพราะมันมาจากความไม่ต่อเนื่องตามนโยบายของ (ตัวเอง adjoint) รูปไข่สมการอนุพันธ์ย่อย

— คริสเตียนโคลสัน
แหล่งที่มา

2

หากความแข็งขององค์ประกอบไม่เป็นบวกระบบจะไม่เสถียร ดังนั้นรูปแบบส่วนใหญ่จึงไม่ถูกต้อง ดูสมการพื้นฐานที่สุดของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

การแก้ปัญหาไม่เสถียรถ้าเป็นลบ (ดูที่รากของสมการลักษณะ) มันหมายถึงการแก้ปัญหาจะระเบิด ความฝืดต้องเป็นพลังในการฟื้นฟู อย่างน้อยสำหรับฤดูใบไม้ผลิทางกายภาพ เมทริกซ์ความแข็งขยายไปถึงองค์ประกอบจำนวนมาก (เมทริกซ์ความแข็งทั่วโลก) นั้นคือทั้งหมด. แต่มันเป็นแนวคิดพื้นฐานเดียวกัน พื้นฐาน FEM อยู่ในวิธีเมทริกซ์ความแข็งสำหรับการวิเคราะห์โครงสร้างที่แต่ละองค์ประกอบมีความแข็งที่เกี่ยวข้อง $k$

— นัส
แหล่งที่มา