ค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดโดยไม่ผกผัน

สมมติว่า $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ เป็นเมทริกซ์สมมาตรเชิงบวกแน่นอน $A$ ใหญ่พอที่จะแก้ปัญหา $Ax=b$ ได้โดยตรง

มีอัลกอริทึมซ้ำสำหรับการหาค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดของ $A$ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการกลับ $A$ ในแต่ละการวนซ้ำหรือไม่?

นั่นคือฉันจะต้องใช้อัลกอริทึมซ้ำเช่นการไล่ระดับสีแบบคอนจูเกตเพื่อแก้ $Ax=b$ ดังนั้นการใช้ซ้ำหลายครั้ง $A^{-1}$ ดูเหมือนว่า "วงใน" ที่มีราคาแพง ฉันต้องการไอเกนิคตัวเดียว

ขอบคุณ!

— จัสตินโซโลมอน
แหล่งที่มา

คุณได้ลองใช้การสลายตัวของ Cholesky หรือไม่? คุณจะต้องปัจจัยเข้าไป

กับ

เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม เมื่อคุณมีการแยกตัวประกอบ (คุณทำได้เพียงครั้งเดียว) คุณสามารถใช้มันในการวนซ้ำทุกครั้งเพื่อแก้ปัญหาระบบได้อย่างรวดเร็วโดยการทดแทนด้านหลังและไปข้างหน้า

A

$A$

L L^{T}

$L L^T$

L

$L$

— Juan M. Bello-Rivas

A เป็นเมทริกซ์หร็อมแหร็ม?

— Tolga Birdal

มีโครงสร้างบล็อกบางส่วน แต่ฉันไม่ต้องการยุ่งกับมันถ้าฉันไม่จำเป็นต้องทำดังนั้นฉันจึงมองหา "วิธีการเมทริกซ์ฟรี" อัลกอริทึม "LOBPCG" มีสัญญาฉันคิดว่า! @ หยวน Cholesky การแยกตัวประกอบยังค่อนข้างแพง

A

$A$

— Justin Solomon

หากคุณใช้ matlab หรือ octave ให้ใช้eigs-routine มันเป็นวิธีการวนซ้ำ มีตัวเลือกเพื่อระบุค่าเฉพาะที่คุณต้องการเช่นเป็นจริงมีขนาดเล็กที่สุด

— sebastian_g

ฉันเข้าใจและใช้ eigs ใน matlab แต่ถ้าคุณระบุตัวเลือกเช่น "เอสเอ็ม" ใน eigs แล้วมันต้องผกผันของมากกว่า ตรวจสอบตารางในเอกสารประกอบ: mathworks.com/help/matlab/ref/eigs.html

A

$A$

A

$A$

— Justin Solomon

คำนวณค่าลักษณะเฉพาะขนาดใหญ่ที่สุดของ (ด้วย, พูด, ) $\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
แล้วคำนวณขนาดใหญ่ที่สุด (ลบ) eigenvalue ของ (อีกครั้งผ่านโทรมาตรฐาน) $\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
$\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
พบวิคเตอร์ของคุณโดยการแก้0 $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
แหล่งที่มา