การแก้ปัญหาที่แข็งแกร่งและอ่อนแอของ PDE

แบบฟอร์มที่แข็งแกร่งของ PDE ต้องว่าวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่รู้จักอยู่ใน 2แต่รูปแบบที่อ่อนแอต้องใช้เพียงว่าวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่รู้จักอยู่ใน 1 $H^2$ $H^1$

คุณตกลงกันได้อย่างไร

pde weak-solution

— Mohamed Cheddadi
แหล่งที่มา

คลาสของโซลูชันที่อ่อนแอนั้นใหญ่กว่าคลาสของโซลูชันที่รัดกุม (โซลูชันที่รัดกุมทุกตัวเป็นโซลูชันที่อ่อนแอ แต่ไม่ใช่โซลูชันที่อ่อนแอทุกตัวที่เป็นโซลูชันที่แข็งแกร่ง)

— Christian Clason

แต่มีทางออกเดียวเท่านั้น

— Mohamed Cheddadi

มีวิธีแก้ปัญหาหนึ่งอย่างสำหรับทุกฟังก์ชั่นทางด้านขวามือหรือชุดของเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม ช่องว่างของ RHSes หรือ BCs ที่เหมาะสมนั้นใหญ่กว่าสำหรับวิธีแก้ปัญหาที่อ่อนแอกว่าพื้นที่ที่แข็งแรง

— Bill Barth

ดู Let 's ในกรณีที่ง่ายของสมการปัวซอง

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$ ในโดเมน

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ พร้อมกับเงื่อนไข Dirichlet เป็นเนื้อเดียวกัน

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$ ในเขตแดน

\partial Ω

$\partial\Omega$ ของΩ

Ω

$\Omega$ เราคิดว่าตอนนี้

\partial Ω

$\partial\Omega$ จะเป็นไปอย่างราบรื่นตามที่เราต้องการ (เช่นสามารถ parametrized โดย

C^{\infty}

$C^\infty$ ฟังก์ชั่น) - นี้จะมีความสำคัญต่อมา

คำถามนี้คือวิธีการตีความ (อย่างเป็นทางการอย่างหมดจด) PDE $(1)$ )มักจะเป็นคำตอบในแง่ของวิธีการตีความอนุพันธ์ $\Delta$ แต่สำหรับจุดประสงค์ของเรามันจะดีกว่าที่จะมุ่งเน้นเกี่ยวกับวิธีการตีความสมการ

แหกตา $(1)$ จะถือว่าถือpointwise สำหรับทุก $x\in\Omega$ โอห์มเพื่อความเหมาะสมด้านขวา $f$ ต้องต่อเนื่องไม่เช่นนั้นเราไม่สามารถพูดเกี่ยวกับค่าที่เป็นจุด $f(x)$ ได้ ซึ่งหมายความว่าสอง (คลาสสิก) สัญญาซื้อขายล่วงหน้าของการแก้ปัญหา $u$ ต้องต่อเนื่องคือเราจะต้องมองหา $u\in C^2(\Omega)$ )

ฟังก์ชั่น $u\in C^2(\Omega)$ ที่สอดคล้องกับ $(1)$ ร่วมกับเงื่อนไขขอบเขต $(2)$ จุดที่เรียกว่าการแก้ปัญหาแบบคลาสสิก (บางครั้งน่าเสียดายที่การแก้ปัญหาที่แข็งแกร่ง )
ความต้องการที่ $f$ เป็นแบบต่อเนื่องนั้น จำกัด มากเกินไปสำหรับการใช้งานจริง ถ้าเราเพียง แต่สมมติ $(1)$ การระงับpointwise สำหรับเกือบทุก $x\in \Omega$ (เช่นทุกที่ยกเว้นสำหรับชุดของเกอวัดเป็นศูนย์) แล้วเราสามารถรับไปกับ $f\in L^2(\Omega)$ )นี่หมายความว่าอนุพันธ์อันดับสองคือฟังก์ชันใน $L^2$ ซึ่งสมเหตุสมผลถ้าเราหาอนุพันธ์ที่อ่อนและดังนั้นมองหา $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ )(อย่าลืมว่าสำหรับฟังก์ชั่น $u$ ที่ไม่ได้อย่างต่อเนื่องเราไม่สามารถใช้เงื่อนไขขอบเขต $(2)$ pointwise. ตั้งแต่ $\partial \Omega$ มีศูนย์เกอวัดเป็นส่วนหนึ่งของ $\bar\Omega$ , pointwise เกือบทุกที่ไม่ให้ความรู้สึกอย่างใดอย่างหนึ่ง.)

ฟังก์ชั่น $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ ที่ตอบสนอง $(1)$ จุดเกือบทุกที่เรียกว่าคำตอบที่แข็งแกร่ง. โปรดทราบว่าโดยทั่วไปจำเป็นและไม่สำคัญที่จะแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาดังกล่าวมีอยู่จริงและไม่ซ้ำกัน (ซึ่งเป็นกรณีตัวอย่างที่นี่)
$f$ $(1)$ $H^{-1}(\Omega)$ $H^1_0(\Omega)$ $f\in H^{-1}(\Omega)$ $L^2(\Omega)$ $(1)$
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
$u\in H^1_0(\Omega)$ $(3)$

$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

$(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
$f\in L^2(\Omega)$
$H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ หรือซับซ้อนกว่าไม่เป็นเชิงเส้นสมการ ดูเช่นhttp://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ )

— คริสเตียนโคลสัน
แหล่งที่มา

ฉันพบว่าคำตอบนี้มีประโยชน์จริงๆ คุณสามารถให้การอ้างอิงถึงส่วนสุดท้ายของคำตอบของคุณ? ฉันต้องการดูตัวอย่างที่ PDE มีโซลูชันที่แข็งแกร่งไม่เหมือนใคร แต่อนุญาตให้มีโซลูชันที่อ่อนแอหลายรายการ ขอบคุณ!

— การเหนี่ยวนำ