การสังเกตแบบจุดต่อจุดและต่อเนื่องในปัญหาการผกผันของ PDE

ฉันทำงานกับปัญหาผกผันสำหรับปริญญาเอกของฉัน การวิจัยซึ่งเพื่อประโยชน์ของความเรียบง่ายที่เราจะพูดคือการกำหนดใน$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

จากข้อสังเกตบางอย่าง ; เป็นค่าคงที่และเป็นที่รู้จัก นี่คือสูตรโดยทั่วไปว่าเป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่สุด$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

โดยที่คือตัวคูณ Lagrange ฟังก์ชันอนุพันธ์ของเทียบกับสามารถคำนวณได้โดยการแก้สมการ adjoint$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

ฟังก์ชั่นการทำให้เป็นปกติบางอย่างถูกเพิ่มเข้าไปในปัญหาด้วยเหตุผลปกติ$R[\beta]$

สมมติฐานที่ไม่ได้พูดว่านี่คือข้อมูลที่สังเกตมีการกำหนดไว้อย่างต่อเนื่องตลอดโดเมน\ฉันคิดว่ามันอาจเหมาะสมกว่าสำหรับปัญหาของฉันที่จะใช้แทน$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

โดยที่เป็นจุดที่ทำการวัดและคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการวัด -th การวัดของสนามนี้มักจะขาด ๆ หาย ๆ และขาดหายไป ทำไมต้องสอดแทรกเพื่อให้ได้ฟิลด์ที่น่าสงสัยอย่างต่อเนื่องหากสามารถหลีกเลี่ยงได้$x_n$$\sigma_n$$n$

สิ่งนี้ทำให้ฉันหยุดชั่วคราวเพราะสมการ adjoint กลายเป็น

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

โดยที่คือฟังก์ชัน Dirac delta ฉันกำลังแก้ปัญหานี้โดยใช้องค์ประกอบ จำกัด ดังนั้นโดยหลักการแล้วการรวมฟังก์ชันรูปร่างเข้ากับจำนวนฟังก์ชันเดลต้าเพื่อประเมินฟังก์ชันรูปร่างที่จุดนั้น ถึงกระนั้นปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นประจำก็อาจไม่ควรถูกขับออกจากมือ การคาดเดาที่ดีที่สุดของฉันคือการทำงานตามวัตถุประสงค์ควรกำหนดไว้ในแง่ขององค์ประกอบ จำกัด ประมาณเขตข้อมูลทั้งหมดมากกว่าในแง่ของเขตข้อมูลจริงแล้วแยกออกหลังจาก$\delta$

ฉันไม่สามารถหาข้อเปรียบเทียบของการสันนิษฐานการวัดแบบต่อเนื่องหรือแบบจุดในปัญหาผกผันในวรรณคดีไม่ว่าจะเกี่ยวข้องกับปัญหาเฉพาะที่ฉันกำลังทำงานหรือโดยทั่วไป บ่อยครั้งที่การวัด pointwise ถูกนำมาใช้โดยไม่ต้องเอ่ยถึงปัญหาเริ่มเกิดขึ้นสม่ำเสมอใด ๆ เช่นที่นี่ มีงานใดตีพิมพ์เปรียบเทียบข้อสันนิษฐานของการวัดแบบต่อเนื่องกับการวัดแบบจุดหรือไม่? ฉันควรจะกังวลเกี่ยวกับฟังก์ชั่นเดลต้าในกรณีจุด

การวัดของสนามนี้มักจะขาด ๆ หาย ๆ และขาดหายไป ทำไมต้องสอดแทรกเพื่อให้ได้ฟิลด์ที่น่าสงสัยอย่างต่อเนื่องหากสามารถหลีกเลี่ยงได้

คุณพูดถูกที่สุด - ส่วนใหญ่แล้วการแก้ไขในฟิลด์ต่อเนื่องที่ครอบคลุมทั้งโดเมนไม่ใช่ตัวเลือก คิดเกี่ยวกับปัญหาการพยากรณ์อากาศซึ่งการวัด (แหล่งที่มาของจุด) มีให้เฉพาะในสถานที่ตั้งของโดเมนที่เลือก ฉันจะบอกว่าข้อมูลจุดฉลาดเป็นบรรทัดฐานมากกว่าข้อยกเว้นเมื่อคุณพิจารณาปัญหาผกผัน "ชีวิตจริง"

การคาดเดาที่ดีที่สุดของฉันคือการทำงานตามวัตถุประสงค์ควรกำหนดไว้ในแง่ขององค์ประกอบ จำกัด ประมาณเขตข้อมูลทั้งหมด ( discretize-then-optimization ) มากกว่าในแง่ของเขตข้อมูลจริงและจากนั้น discretized หลังจาก ( ปรับให้เหมาะสมแล้ว discretize )

ทั้งสองวิธีนั้นไม่เท่ากัน (ยกเว้นปัญหาง่าย ๆ ) มีวรรณกรรมมากมายที่เปรียบเทียบทั้งสองวิธี (แต่ละข้อมีข้อดีและข้อเสีย) ฉันจะชี้ไปที่เอกสารของ Max Gunzburger (โดยเฉพาะตอนท้ายของบทที่ 2)

มีงานใดตีพิมพ์เปรียบเทียบข้อสันนิษฐานของการวัดแบบต่อเนื่องกับการวัดแบบจุดหรือไม่? ฉันควรจะกังวลเกี่ยวกับฟังก์ชั่นเดลต้าในกรณีจุด

คุณสามารถแสดงเงื่อนไขแหล่งที่มาของคุณได้อย่างแน่นอน - กล่าวคือคำที่มาของคุณจะถูกจำลองเป็น (การประมาณแบบไม่ต่อเนื่องกับ a) การแจกแจงแบบไดแรค [ Arraya et al., 2006 ] หรือคุณสามารถประมาณคำที่มา ตัวอย่างเช่นในวิธีขอบเขตแช่ ) ไปดูบทความล่าสุดของ Hosseini และคณะ (และการอ้างอิงในนั้น)

หากต้องการขยายคำตอบของ @ GoHokies: หากคุณสนใจคำถามแบบสม่ำเสมอคุณสามารถถามได้ว่า "การวัดคะแนน" คืออะไร ในการฝึกฝนทางกายภาพคุณไม่สามารถวัดอะไรได้ที่ "จุด" แต่คุณมักจะได้รับค่าเฉลี่ยบางอย่างมากกว่าก้อนพื้นที่เวลาชนิด: เครื่องวัดอุณหภูมิไม่ได้เป็นจุด แต่วัตถุขยายและใช้เวลาในการปรับอุณหภูมิของสื่อรอบมัน อุปกรณ์วัดความเข้มข้นต้องการขนาดตัวอย่าง จำกัด เป็นต้น

สิ่งนี้หมายความว่าในทางคณิตศาสตร์คือฟังก์ชันเดลต้าในการทำงานของคุณมีค่าเฉลี่ยในพื้นที่ขนาดเล็กและ / หรือช่วงเวลาที่เพียงพอ ดังนั้นด้านขวาในสมการคู่ก็มี จำกัด และไม่มีปัญหาเกิดขึ้น

แน่นอนในทางปฏิบัติโดยทั่วไปคุณจะไม่สามารถแก้ไขพื้นที่ขนาดเล็กหรือช่วงเวลาที่คุณวัดด้วยตาข่ายองค์ประกอบ จำกัด นั่นคือในระดับความยาวที่คุณสามารถแก้ไขได้ด้านขวามือจะดูเป็นเอกเทศและดังนั้นวิธีแก้ปัญหาก็เช่นกัน แต่เนื่องจากคุณได้แนะนำข้อผิดพลาด discretization แล้วคุณยังสามารถทำให้ฟังก์ชั่นลักษณะเฉพาะของไดรฟ์ข้อมูลที่คุณวัดโดยการประมาณแบบไม่ต่อเนื่องที่มีน้ำหนักเท่ากัน ถ้าคุณทำถูกต้องคุณจะแนะนำข้อผิดพลาดที่ไม่ใหญ่กว่าข้อผิดพลาด discretization ที่ประโยชน์ของการได้รับฟังก์ชั่นด้านขวามือที่ดีอย่างสมบูรณ์แบบสำหรับสมการคู่ (แยก)