การประเมินข้อผิดพลาด 'a priori' และ 'posteriori' แตกต่างกันอย่างไรในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข

ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (เช่นเดียวกับวิธีการเชิงตัวเลขอื่น ๆ เล็กน้อย) แต่ฉันไม่รู้ว่าคำจำกัดความของข้อผิดพลาดและความแตกต่างระหว่างสองข้อนี้เป็นอย่างไร

finite-element numerical-analysis error-estimation

— Anh-Thi DINH
แหล่งที่มา

การประเมินเบื้องต้น (จากละติน "จากก่อนหน้านี้") การประเมินนั้นขึ้นอยู่กับความถูกต้องเท่านั้น แต่ไม่ใช่วิธีการคำนวณโดยประมาณวิธีการแก้ปัญหาและอาจเป็นไปได้ (ในทางทฤษฎีหากไม่ปฏิบัติ) ประเมินก่อนประมวลผล ในทางกลับกัน posteriori (จากละติน "จากภายหลัง") ประมาณการขึ้นอยู่กับวิธีการคำนวณ แต่ไม่ใช่วิธีการแก้ปัญหาที่แน่นอนดังนั้นพวกเขาต้องการการคำนวณวิธีการแก้ปัญหา แต่สามารถประเมินได้จริงในทางปฏิบัติ

— Christian Clason

@ChristianClason - ตอบคำถามนี้ได้!

— Wolfgang Bangerth

ประมาณการข้อผิดพลาดมักจะมีรูปแบบ ที่เป็นโซลูชั่นที่ตรงกับที่คุณมีความสนใจในเป็นวิธีการแก้ปัญหาโดยประมาณคำนวณเป็นประมาณพารามิเตอร์คุณสามารถควบคุมและเป็นฟังก์ชันของ (เหนือสิ่งอื่นใด) ในระเบียบวิธีไฟไนต์เอลิเมน ต์ , คือการแก้ปัญหาของสมการอนุพันธ์ย่อยและจะเป็นทางออกที่องค์ประกอบ จำกัด สำหรับตาข่ายมีขนาดตาข่าย

‖ ยู - {ยู}_{ชั่วโมง} ‖ \leq ค (ชั่วโมง),

$\|u - u_h\| \leq C(h),$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

C (h)

$C(h)$

h

$h$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$ แต่คุณมีโครงสร้างเดียวกันในปัญหาผกผัน (ด้วยพารามิเตอร์การทำให้เป็นมาตรฐาน

แทน

) หรือวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้สมการหรือปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด (ด้วยดัชนีการวนซ้ำ

- หรือ

- แทนที่

) . จุดประมาณดังกล่าวคือการช่วยตอบคำถาม"ถ้าฉันต้องการเข้าไปพูดของคำตอบที่ถูกต้องฉันต้องเลือกขนาดเล็กแค่ไหน"

α

$\alpha$

h

$h$

k

$k$

1 / k

$1/k$

h

$h$ $10^{-3}$ $h$

ความแตกต่างระหว่างนิรนัยและการประมาณหลังนั้นอยู่ในรูปแบบของด้านขวา : $C(h)$

ในเบื้องต้นประมาณการด้านขวามือจะขึ้นอยู่กับ (ปกติอย่างชัดเจน) และแต่ไม่ได้อยู่ในเอชยกตัวอย่างเช่นการประมาณค่าเบื้องต้นสำหรับการประมาณองค์ประกอบ จำกัด ของสมการของปัวซองจะมีรูปแบบ มีคงที่ $h$ $u$ $u_h$ $-\Delta u = f$
$‖ ยู - {ยู}_{ชั่วโมง} ‖_{L^{2}} \leq ค {ชั่วโมง}^{2} | ยู |_{H^{2}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$ $c$ ขึ้นอยู่กับเรขาคณิตของโดเมนและตาข่าย โดยหลักการแล้วทางด้านขวามือสามารถประเมินได้ก่อนที่จะคำนวณ (ด้วยเหตุนี้ชื่อ) ดังนั้นคุณจะสามารถเลือกก่อนที่จะแก้ไขอะไรก็ได้ ในทางปฏิบัติหรือเป็นที่รู้จักกัน ( คือสิ่งที่คุณกำลังมองหาในสถานที่แรก) แต่คุณอาจจะได้รับการประมาณการสั่งซื้อหรือขนาดสำหรับโดยระมัดระวังที่จะผ่านการพิสูจน์และโดยใช้ข้อมูล $u_h$ $h$ $c$ $|u|_{H^2}$ $u$ $c$ $|u|$ $f$ (ซึ่งเป็นที่รู้จัก) ใช้หลักเป็นประมาณการคุณภาพ - มันจะบอกคุณว่าถ้าคุณต้องการที่จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดที่มีขนาดเล็กโดยมีปัจจัยสี่ที่คุณจะต้องลดลงครึ่งหนึ่งชั่วโมง $h$
ในposterioriประมาณการด้านขวามือจะขึ้นอยู่กับและแต่ไม่ได้อยู่ในยูง่ายที่เหลือตามประมาณการหลังสำหรับสมการปัวซองจะเป็น ซึ่งอาจจะในทางทฤษฎีมีการประเมินผลหลังจากการคำนวณเอชในทางปฏิบัติ $h$ $u_h$ $u$
$‖ ยู - {ยู}_{ชั่วโมง} ‖_{L^{2}} \leq ค ชั่วโมง ‖ ฉ + Δ {ยู}_{ชั่วโมง} ‖_{H^{- 1}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$ $u_h$ $H^{-1}$ บรรทัดฐานเป็นปัญหาในการคำนวณดังนั้นคุณจะต้องจัดการด้านขวามือเพิ่มเติมเพื่อให้ได้ขอบเขตที่ มีองค์ประกอบที่ชาญฉลาด $‖ ยู - {ยู}_{ชั่วโมง} ‖_{L^{2}} \leq ค (\underset{K}{Σ} {ชั่วโมง}_{K}^{2} ‖ ฉ + Δ {ยู}_{ชั่วโมง} ‖_{L^{2} (K)} + \underset{F}{Σ} {ชั่วโมง}_{K}^{3 / 2} ‖ J (\nabla {ยู}_{ชั่วโมง}) ‖_{L^{2} (F)}),$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$ ที่รวมเป็นครั้งแรกที่มีมากกว่าองค์ประกอบของสมการที่คือขนาดของ , ผลรวมสองคือมากกว่าทุกองค์ประกอบขอบเขตและหมายถึงการกระโดดของอนุพันธ์ปกติของทั่ว . นี่คือตอนคำนวณอย่างเต็มที่หลังจากที่ได้รับยกเว้นคงคดังนั้นการใช้งานอีกครั้งจึงเป็นคุณสมบัติเชิงคุณภาพ - มันบอกคุณว่าองค์ประกอบใดที่ให้การสนับสนุนข้อผิดพลาดมากกว่าคนอื่นดังนั้นแทนที่จะลด $K$ $h_K$ $K$ $F$ $j(\nabla u_h)$ $u_h$ $F$ $u_h$ $c$ $h$ คุณเลือกองค์ประกอบบางอย่างที่มีข้อผิดพลาดมากและทำให้องค์ประกอบเล็กลงด้วยการแบ่งย่อย นี่คือพื้นฐานของวิธีการไฟไนต์เอลิเมนต์ที่ปรับได้

— คริสเตียนโคลสัน
แหล่งที่มา

คำตอบนี้เป็นสิ่งที่ฉันต้องการจริงๆขอบคุณมาก

— Anh-Thi DINH