วิธีการในการแก้ปัญหาระบบการแพร่กระจายที่ไม่ใช่เชิงเส้นเกินกว่านิวตัน - Raphson?

ฉันกำลังทำงานในโครงการที่ฉันมีสองโดเมนที่ต่างกันซึ่งต่างกันไปตามเงื่อนไขแหล่งที่มาของโดเมนนั้น ๆ (หนึ่งโดเมนจะเพิ่มมวล เพื่อความกระชับฉันจะสร้างแบบจำลองพวกเขาในสถานะมั่นคง สมการเป็นสมการการขนส่งการกระจายการพาแบบกระจายของคุณกับคำที่มามีลักษณะดังนี้:

$$\frac{\partial c_1}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_1 + \mathcal{Q}_1(c_1,c_2) \\ \frac{\partial c_2}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_2 + \mathcal{Q}_2(c_1,c_2)$$

ที่ไหน $\mathcal{F}_i$ เป็นฟลักซ์การแพร่กระจายและ advective สำหรับสายพันธุ์ $i$และ $\mathcal{Q}_i$ เป็นคำที่มาสำหรับสปีชีส์ $i$.

ฉันสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาของฉันโดยใช้วิธี Newton-Raphson และเชื่อมโยงสองโดเมนเข้าด้วยกันโดยใช้ block mass matrix เช่น:

$$F_{coupled} = \left[\begin{array}{c c} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \\ \end{array}\right]\underbrace{ \left[\begin{array}{c} c_{1,i} \\ c_{2,i} \\ \end{array}\right] }_{x_i} - \left[\begin{array}{c} b_1(c_{1,i}, c_{2,i}) \\ b_2(c_{1,i}, c_{2,i}) \\ \end{array}\right]$$

ระยะเวลา $F_{coupled}$ จะใช้ในการกำหนดเมทริกซ์ Jacobian และอัปเดตทั้งสอง $c_1$ และ $c_2$:

$$\mathcal{J}(x_i) \left[x_{i+1} - x_i \right] = -\mathcal{F}_{coupled}$$

หรือ

$$x_{i+1} = x_i - \left(\mathcal{J}(x_i)\right)^{-1} \mathcal{F}_{coupled}$$

เพื่อเร่งสิ่งต่าง ๆ ฉันไม่ได้คำนวณจาโคเบียนทุกการวนซ้ำ - ตอนนี้ฉันกำลังเล่นกับการวนซ้ำห้าครั้งซึ่งดูเหมือนว่าจะทำงานได้ดีพอและทำให้ทางออกคงที่

ปัญหาคือ: ฉันจะย้ายไปยังระบบที่มีขนาดใหญ่กว่าซึ่งทั้งสองโดเมนอยู่ใน 2D / 2.5D และการคำนวณ Jacobian matrix จะทำให้ทรัพยากรคอมพิวเตอร์ที่มีอยู่หมดลงอย่างรวดเร็ว ฉันกำลังสร้างแบบจำลองนี้เพื่อใช้ในการตั้งค่าการเพิ่มประสิทธิภาพในภายหลังดังนั้นฉันจึงไม่สามารถอยู่หลังพวงมาลัยได้ในการวนซ้ำทุกครั้งเพื่อปรับปัจจัยการทำให้หมาด ๆ ฯลฯ

ฉันมีสิทธิ์ที่จะมองหาที่อื่นเพื่อหาจุดแข็งและอัลกอริทึมสำหรับปัญหาของฉันหรือสิ่งนี้ดีเท่าที่ได้รับหรือไม่? ฉันได้ดูเล็กน้อยในการเป็นแบบกึ่งเชิงเส้น แต่ไม่แน่ใจว่ามันใช้กับระบบของฉันได้อย่างไร

Are there any other slick algorithms that I may have missed that can solve a system of nonlinear equations without resorting to re-calculating the Jacobian as offen?

ฉันสมมติว่าข้อ จำกัด ในแบบ 2D และ 3D คือการเก็บยาโคบเบียน

ทางเลือกหนึ่งคือการรักษาอนุพันธ์ของเวลาและใช้ "การหลอก" เวลาที่ชัดเจนเพื่อย้ำให้อยู่ในสถานะมั่นคง โดยปกติแล้วหมายเลข CFL ที่คุณต้องการสำหรับระบบกระจายและปฏิกิริยาอาจมีขนาดเล็ก คุณสามารถลองหลาย ๆ แบบไม่เชิงเส้น (เรียกอีกอย่างว่า Multigrid Storage เต็มการประมาณ) และเวลาท้องถิ่นเพื่อเร่งความเร็วการบรรจบกัน

ตัวเลือกอื่นคือการใช้รูปแบบโดยนัยอย่างที่คุณทำอยู่ตอนนี้ แต่ไม่ได้จัดเก็บ Jacobian ทั่วโลก คุณสามารถใช้รูปแบบที่ไม่มีเมทริกซ์โดยนัย

$$DF(u^n)\, \delta u^n = -F(u^n)$$ (ในกรณีที่ $DF$ คือ Jacobian) สามารถแก้ไขได้ด้วยตัวแก้พื้นที่ย่อย Krylov เช่น GMRES และ BiCGStab โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $$DF(u^n)\, \delta u \approx \frac{F(u^n+\epsilon\frac{\delta u}{\Vert\delta u\Vert}) - F(u^n)}{\epsilon}.$$ นี่เป็นเพราะ GMRES และ BiCGStab ไม่ต้องการเมทริกซ์ LHS $A$พวกเขาเพียงแค่ต้องสามารถคำนวณผลิตภัณฑ์ของตนได้ $Ax$ ให้เวกเตอร์ $x$.

ตอนนี้มีค่าที่เหมาะสมของ $\epsilon$ (ปกติเกี่ยวกับ $10^{-7}$สำหรับการลอยตัวที่มีความแม่นยำสองเท่า) คุณสามารถเรียกใช้งานวนรอบนิวตันโดยไม่ต้องคำนวณหรือจัดเก็บ Jacobian ฉันรู้ถึงความจริงที่ว่าเทคนิคนี้ใช้เพื่อแก้ปัญหากรณีที่ไม่เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของไหลในการคำนวณ อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าจำนวนของการประเมินผลของฟังก์ชั่น$F$ จะมากกว่าในเทคนิคการจัดเก็บเมทริกซ์แทนที่จะต้องใช้ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์เวกเตอร์

อีกสิ่งหนึ่งที่ควรทราบก็คือหากระบบของคุณเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องมีเงื่อนไขเบื้องต้นที่มีประสิทธิภาพ (เช่น Jacobi หรือ block-Jacobi จะไม่พอเพียง) คุณอาจต้องการลองใช้วิธีการที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นวิธีที่ราบรื่นยิ่งขึ้น หากคุณต้องการลองผู้ชี้แนะจุดหรือบล็อคจาโคบีคุณสามารถคำนวณและเก็บเฉพาะองค์ประกอบในแนวทแยงหรือบล็อกแนวทแยงของจาโคเบียนซึ่งไม่มากนัก ฉันยังพูดถึงว่า Gauss-Seidel หรือ SSON preconditioner อาจเป็นไปได้ที่จะดำเนินการโดยไม่ต้องจัดเก็บ Jacobian อย่างชัดเจน บทความนี้อธิบายการใช้ GMRES ที่ปราศจากเมทริกซ์ซึ่งมีเงื่อนไขล่วงหน้าด้วยเมทริกซ์ Gauss-Seidel ที่ปราศจากเมทริกซ์ในบริบทของพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ

จากประสบการณ์ของฉันกับสมการเนเวียร์ - สโตคส์เราสามารถทำได้ดีมาก

หากคุณต้องการรูปแบบตัวเลขที่รวดเร็วสำหรับการแก้ปัญหาวิวัฒนาการเวลาลองดูที่แผนการของ IMEX (โดยนัย - ชัดแจ้ง) ดูตัวอย่างบทความนี้โดย Ascher, Ruuth, Spiteri วิธี Runge-Kutta โดยนัย - ชัดแจ้งสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ขึ้นกับเวลา

คุณอาจลองใช้รูปแบบการรวมเวลาที่มีความชัดเจนสูงพร้อมการควบคุมขนาดขั้นตอน (เช่นของ Matlab ODE45) อย่างไรก็ตามคุณอาจประสบปัญหาเนื่องจากความแข็งของระบบของคุณซึ่งมาจากส่วนที่กระจาย โชคดีที่ส่วนที่กระจัดกระจายเป็นแบบเส้นตรงเพื่อให้สามารถรักษาได้โดยปริยาย (ซึ่งเป็นแนวคิดของแผนการ IMEX)

ตอนแรกฉันคิดว่าจะเพิ่มเพียงคำพูด แต่พื้นที่ไม่เพียงพอดังนั้นฉันจึงเพิ่มคำอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับประสบการณ์ของฉันในหัวข้อนี้

ขั้นแรกให้ดูที่สัญลักษณ์ของคุณ $F_{coupled}$ ฉันไม่เห็นรูปแบบคู่ฉันคิดว่า $b_1$ และ $b_2$ จะต้องขึ้นอยู่กับ $c_{1,i}$ และ $c_{2,i}$. ยิ่งกว่านั้นถ้า$A_1$ และ $A_2$ เป็นตัวแทนของเมทริกซ์ของการประมาณของ $\mathcal{F}_1$ และ $\mathcal{F}_2$ แล้วพวกเขาก็ไม่ควรพึ่งเท่านั้น $c_i$แต่ก็เหมือนกันกับคุณค่าของเพื่อนบ้าน แต่นี่อาจเป็นเพียงความเข้าใจที่ไม่ถูกต้องของสัญลักษณ์ของคุณ

ในฐานะที่เป็นความคิดเห็นทั่วไปฉันต้องการเพิ่มว่าการใช้ Jacobian เชิงวิเคราะห์น่าจะเป็นวิธีเดียวที่จะได้รับการบรรจบกันของกำลังสองของตัวแก้แบบวนซ้ำไม่เชิงเส้น (เช่นตัวแก้นิวตัน - ราฟสันในกรณีของคุณ) คุณสังเกตเห็นมันในกรณีของคุณหรือไม่? มันค่อนข้างสำคัญเพราะมิฉะนั้นอาจมีความเข้าใจผิดในการประมาณของคุณ (การทำให้เป็นเส้นตรง)

ในทุกแอพพลิเคชั่นฉันมีส่วนเกี่ยวข้อง (บางคนรวมการคำนวณขนาดใหญ่) เราไม่เคยมีปัญหากับการใช้เวลาในการประกอบยาโคเบียนปัญหาที่ใช้เวลามากที่สุดคือการใช้เครื่องมือแก้ปัญหาเชิงเส้น Jacobian เชิงวิเคราะห์ (ถ้ามี) มักจะอยู่ในแอปพลิเคชันที่ฉันกำลังทำงานกับตัวเลือกที่ต้องการเนื่องจากการบรรจบกันของกำลังสอง ในบางกรณีตัวแก้ปัญหาแบบไม่เชิงเส้นเช่นสร้างเมทริกซ์ที่ทำให้เกิดปัญหากับการลู่เข้าของตัวแก้เชิงเส้นแบบวนซ้ำดังนั้นเราจึงพยายามใช้การทำให้เป็นเส้นตรงที่ง่ายกว่าการวิเคราะห์จาโคเบียนเพื่อช่วยแก้ปัญหาเชิงเส้น การแลกเปลี่ยนระหว่างพฤติกรรมของตัวแก้เชิงพีชคณิตเชิงเส้นและเชิงเส้นขึ้นอยู่กับการทำให้เป็นเส้นตรงของระบบพีชคณิตเชิงเส้นไม่เชิงเส้นมักจะยุ่งยากและฉันก็ไม่สามารถให้คำแนะนำทั่วไปได้

แต่คุณคิดถูกว่าข้อเสียเปรียบ (หรือคุณสมบัติ) ของการวิเคราะห์จาโคเบียนสำหรับระบบของ PDE นั้นคือมันก่อให้เกิดระบบพีชคณิตแบบคู่ดังนั้นหากคุณแยกระบบดังกล่าวในทางใดทางหนึ่งเช่นการแยกการประมาณโดยประมาณของแต่ละ PDE ซ้ำ ๆ วิธีการแล้วคุณหลวมการบรรจบกันของสมการกำลังสองของการแก้ปัญหาทั่วโลก แต่อย่างน้อยถ้าคุณแก้ปัญหา PDE ที่แยกจากกัน (แยกแต่ละส่วน) คุณสามารถเร่งความเร็วการแก้ปัญหาสำหรับปัญหานี้อีกครั้งโดยใช้วิธี Newton-Raphson