บทบาทของฟลักซ์เชิงตัวเลขใน DG-FEM

13

ฉันกำลังเรียนรู้ทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังวิธีการ DG-FEM โดยใช้หนังสือ Hesthaven / Warburton และฉันสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับบทบาทของ 'ฟลักซ์เชิงตัวเลข' ฉันขอโทษถ้านี่เป็นคำถามพื้นฐาน แต่ฉันได้ดูและไม่พบคำตอบที่น่าพอใจ

พิจารณาสมการคลื่นสเกลาร์เชิงเส้น: ที่ฟลักซ์เชิงเส้นจะได้รับเป็นยู

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f (u)}{\partial x} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$

f (u) = a u

$f(u) = au$

ดังที่แนะนำในหนังสือของ Hesthaven สำหรับแต่ละองค์ประกอบเราจบด้วยสมการอันหนึ่งสำหรับแต่ละฟังก์ชันพื้นฐานบังคับให้ส่วนที่เหลือหายไปอย่างอ่อน: $k$ $N$

R_{h} (x, t) = \frac{\partial u_{h}}{\partial t} + \frac{\partial a u_{h}}{\partial x}

$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$

\int_{D^{k}} R_{h} (x, t) ψ_{n} (x) d x = 0

$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$

ละเอียด. ดังนั้นเราต้องผ่านการรวมกลุ่มโดยหนึ่งครั้งเพื่อให้ถึง 'รูปแบบที่อ่อนแอ' (1) และรวมเป็นสองส่วนเพื่อให้ได้ 'รูปแบบที่แข็งแกร่ง' (2) ฉันจะใช้รูปแบบอินทิกรัลแบบรวมของ Hesthaven แต่ใช้งานได้ง่ายใน 1D:

\int_{D^{k}} (\frac{\partial u_{h}^{k}}{\partial t} ψ_{n} - a u_{h}^{k} \frac{d ψ_{n}}{d x}) d x = - \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h})^{*} ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

\int_{D^{k}} R_{h} ψ_{n} d x = \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h}^{k} - (a u_{h})^{*}) ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

$au_h^k$ $D^k$

$au_h^k$

เห็นได้ชัดว่าฉันขาดอะไรบางอย่างที่สำคัญกับวิธีการและฉันต้องการแก้ไขปัญหานี้ ฉันได้ทำการวิเคราะห์จริงและการใช้งานบางอย่างแล้วดังนั้นหากมีคำตอบตามทฤษฎีเกี่ยวกับสูตรมากขึ้นฉันอยากจะรู้!

finite-element discontinuous-galerkin

— user3482876
แหล่งที่มา

6

u

$u$

u

$u$

8

เกี่ยวข้องกับความคิดเห็น Tylers แต่ IMO สำคัญยิ่งกว่า: ฟลักซ์ยังแนะนำการมีเพศสัมพันธ์ระหว่างปัญหาย่อยต่างๆ มิฉะนั้นจะไม่มีการเผยแพร่ข้อมูลในลักษณะที่ไม่ต่อเนื่อง

— Christian Waluga

3

ฟลักซ์เชิงตัวเลขถูกเลือกเพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลในปัญหาเดินทางไปในทิศทางของเส้นโค้งลักษณะเฉพาะของสมการ (การย้อนกลับ) ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นจำเป็นต้องใช้ฟลักซ์เชิงตัวเลขเพื่อจับคู่ปัญหาย่อยที่กำหนดไว้ในแต่ละองค์ประกอบ

วิธีหนึ่งที่จะได้รับปรีชาสำหรับบทบาทของฟลักซ์เชิงตัวเลขคือการพิจารณาตัวอย่างง่ายๆดังต่อไปนี้

$a=1$

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 on Ω,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$

Ω = [0, 1]

$\Omega = [0,1]$

x = 0

$x = 0$

x = 1

$x = 1$

u (0, t) = g_{D}

$u(0,t) = g_D$

g_{D}

$g_D$

$D_1 = [0,1/2]$ $D_2 = [1/2,1]$

\begin{aligned} (PDE 1): & v_{t} + v_{x} & = 0 on D_{1}, \\ (PDE 2): & w_{t} + w_{x} & = 0 on D_{2}, \end{aligned}

$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$

$D_1$ $D_2$

$D_1$ $v(0,t) = g_D$ $D_2$ $w(1/2,t) = v(1/2,t)$

$\psi$ $D_k$

\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}} \hat{n} \cdot v ψ d x & = {[v ψ]}_{0}^{1 / 2} \\ \int_{\partial D_{2}} \hat{n} \cdot w ψ d x & = {[w ψ]}_{1 / 2}^{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$

v

$v$

w

$w$

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

v (0, t)

$v(0,t)$

g_{D}

$g_D$

w (1 / 2, t)

$w(1/2,t)$

v (1 / 2, t)

$v(1/2,t)$

$u_h^* = g_D$ $x = 0$ $u_h^* = v(1/2,t)$ $x=1/2$

เมื่อมองสิ่งต่าง ๆ ในลักษณะนี้เราสามารถพิจารณาฟังก์ชันฟลักซ์เชิงตัวเลขได้อย่างนุ่มนวลเมื่อบังคับใช้เงื่อนไขขอบเขตในแต่ละองค์ประกอบที่จำเป็นต้องใช้สองสมการในลักษณะที่เคารพโครงสร้างลักษณะของสมการ

สำหรับสมการซับซ้อนมากขึ้นกว่าคงที่ค่าสัมประสิทธิ์การพาข้อมูลอาจจะไม่เผยแพร่เสมอไปในทิศทางเดียวกันและเพื่อให้การไหลตัวเลขจะต้องได้รับการพิจารณาโดยการแก้ (หรือใกล้เคียงกับวิธีการบริการ) ปัญหา Riemannที่อินเตอร์เฟซ สิ่งนี้ถูกกล่าวถึงสำหรับปัญหาเชิงเส้นในหัวข้อ 2.4 ของหนังสือ Hesthaven

— พี
แหล่งที่มา

1

การพูดอย่างหลวม ๆ มีสองสิ่งที่เทคนิคการแยกส่วนใหญ่ต้องการเพื่อรวมเข้ากับโซลูชันจริงของ PDE ของคุณเมื่อคุณเพิ่มคุณภาพการประมาณของพวกเขาโดยไม่คำนึงว่าคุณกำลังใช้ DG หรือไม่:

$u$
ความเสถียร (การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของข้อมูลส่งผลให้มีการเปลี่ยนแปลงคำตอบเล็กน้อย)

ขั้นตอนแรกของการสืบทอด DG ที่คุณรวมเข้ากับส่วนต่าง ๆ ในแต่ละองค์ประกอบตาข่ายจะเก็บรักษาไว้ (1) เนื่องจากคุณเริ่มต้นด้วย PDE และใช้การดำเนินการทางกฎหมายจากที่นั่นเท่านั้น

สิ่งนี้ไม่ได้ให้ (2) กับคุณ คุณสามารถเห็นสิ่งนี้ด้วยตัวคุณเองโดยพยายามรวบรวมเมทริกซ์ของรูปแบบที่อ่อนแอสูตรบางส่วน DG และดูค่าลักษณะเฉพาะของมัน - สำหรับปัญหาขึ้นอยู่กับเวลาที่เราต้องการพวกเขาทั้งหมดบนระนาบครึ่งซ้าย แต่ไม่มีฟลักซ์เชิงตัวเลขที่เหมาะสม สิ่งนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นอย่างรวดเร็วในเวลาอันรวดเร็วแม้ว่าปัญหาทางกายภาพจะไม่เกิดขึ้นก็ตาม

$u$

เคล็ดลับคือการรวมกันของการกระโดดและค่าเฉลี่ยและรวมเข้าด้วยกันในรูปแบบที่โครงการของคุณยังคงสอดคล้อง แต่ยังมีเสถียรภาพ หลังจากนั้นทฤษฎีการบรรจบมักจะเปิดเผยตัวมันเอง

นี่คือพื้นฐาน แต่คุณยังสามารถนำฟิสิกส์เพิ่มเติมเข้ามาในฟลักซ์เชิงตัวเลขเพื่อที่ว่ามันจะไม่เพียงตอบสนองความต้องการทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ แต่ยังเล่นได้ดีกับหลักการอนุรักษ์

— Reid.Atcheson
แหล่งที่มา

0

เมื่อคุณเลือกฟังก์ชั่นทดสอบเท่ากับฟังก์ชั่นทดลองใช้ในวิธี DG คุณกำลังสร้างปัญหาการปรับให้เหมาะสม นั่นคือคุณมี Galerkin มากกว่าวิธี Petrov-Galerkin คุณกำลังมองหาอนุพันธ์เวลาของแอมพลิจูดฟังก์ชั่นทดลองที่จะลดองค์ประกอบที่เหลือในบรรทัดฐาน L2 และคุณทำการลบล้างสิ่งนี้บนสมมติฐานของฟังก์ชั่นฟลักซ์ที่กำหนดที่การไหลเข้า

— Philip Roe
แหล่งที่มา