จะคำนวณเศษตกค้างได้อย่างไร

ฉันต้องคำนวณอินทิกรัลต่อไปนี้: โดยที่คือเมทริกซ์ (พลังงานจลน์หนึ่งอนุภาคและพลังงานศักย์ที่แสดงเป็นฐาน),เป็นเมทริกซ์ซึ่งขึ้นอยู่กับ (หนึ่ง - หลายอนุภาค - ฟังก์ชั่น body Green) และอินทิกรัลของรูปร่างเป็นครึ่งวงกลมซ้าย integrandมีขั้วบนแกนจริงเชิงลบและมีราคาแพงในการประเมิน วิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการคำนวณอินทิกรัลนั้นคืออะไร?

นี่คืองานวิจัยของฉัน:

1) ฉันใช้การรวมแบบเกาส์, เส้นทางการรวมของฉันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ฉันแก้ไขด้านซ้ายและด้านขวา (เช่นความกว้าง) และเล่นกับความสูง (ด้านบนและด้านล่างของแกนจริง) เช่นนั้นสำหรับลำดับการรวมที่กำหนดฉันได้รับความแม่นยำสูงสุด ตัวอย่างเช่นสำหรับคำสั่ง 20 ถ้าความสูงมีขนาดใหญ่เกินไปความแม่นยำลดลง (ชัด) แต่ถ้ามันเล็กเกินไปก็จะลดลงด้วย (ทฤษฎีของฉันคือต้องการจุดที่อยู่รอบเสามากขึ้นเมื่อความสูงไปถึง 0) ฉันตัดสินด้วยความสูงที่เหมาะสมที่สุด 0.5 สำหรับฟังก์ชั่นของฉัน

2) จากนั้นฉันตั้งค่าด้านขวาของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ E0 โดยทั่วไปคือ E0 = 0 แต่อาจเป็น E0 = -0.2 หรือสิ่งที่คล้ายกัน

3) ฉันเริ่มขยับด้านซ้ายของสี่เหลี่ยมไปทางซ้ายและในแต่ละขั้นตอนฉันรวมการลู่เข้าของการบูรณาการเพื่อให้แน่ใจว่าอินทิกรัลของฉันถูกรวมอย่างเต็มที่สำหรับแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยการเพิ่มความกว้างในที่สุดฉันก็ได้ค่าคอนเวอร์เจนซ์ในขีด จำกัด ของครึ่งวงกลมด้านซ้ายที่ไม่มีที่สิ้นสุด

การคำนวณช้ามากและไม่แม่นยำสำหรับความกว้างขนาดใหญ่ การปรับปรุงอย่างหนึ่งคือการแบ่งพาร์ติชันความกว้างยาวเป็น "องค์ประกอบ" และใช้การรวมแบบเกาส์เซียนในแต่ละองค์ประกอบ (เช่นเดียวกับใน FE)

อีกทางเลือกหนึ่งคือการรวมวงกลมเล็ก ๆ รอบ ๆ แต่ละขั้วและสรุปผล ปัญหา:

a) จะหาตัวเลขของฟังก์ชันอย่างไร? มันควรจะแข็งแกร่ง สิ่งเดียวที่ฉันรู้คือพวกเขาอยู่บนแกนจริงเชิงลบ สำหรับบางคน (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) ฉันก็รู้ว่าการคาดเดาเริ่มแรกนั้นค่อนข้างดี มีวิธีการที่ใช้งานได้กับฟังก์ชั่นการวิเคราะห์หรือไม่? หรือมันขึ้นอยู่กับรูปแบบที่แท้จริงของ ?$f(E)$$f(E)$$f(E)$

b) เมื่อเรารู้เสาแล้วชุดรูปแบบตัวเลขที่ดีที่สุดสำหรับการรวมวงกลมขนาดเล็กรอบ ๆ มันคืออะไร? ฉันควรใช้การรวมแบบเกาส์บนวงกลมหรือไม่ หรือฉันควรใช้การกระจายจุดแบบเดียวกัน

ตัวเลือกอื่นอาจเป็นได้ว่าเมื่อฉันรู้ว่าเสาต้องขอบคุณก) อาจมีวิธีการวิเคราะห์กึ่งวิธีที่จะได้รับสิ่งตกค้างโดยไม่ต้องใช้การรวมที่ซับซ้อน แต่ตอนนี้ฉันยินดีที่จะเพิ่มประสิทธิภาพการรวมเส้นชั้นความสูง

$p(x)$$q(x)$

$x$$f(x)$ $q(x)$

การประมาณค่าด้วยเหตุผล / การประมาณอาจเป็นเรื่องที่ยุ่งยาก แต่เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้ร่วมเขียนบทความเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่มีเสถียรภาพเพื่อคำนวณโดยใช้ SVD บทความนี้มีโค้ด Matlab ที่ใช้อัลกอริทึมและมีเวอร์ชั่นเพิ่มเติมให้ใช้งานratinterpในโครงการ Chebfunซึ่งฉันเป็นหนึ่งในผู้พัฒนา

สำหรับคำถามที่สองของคุณบทความนี้อาจมีประโยชน์