การปรับพื้นผิวโดยนัยให้เหมาะสมกับจุดที่ตั้งไว้

ฉันมีคำถามเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสพอดีกับชุดของจุดและบรรทัดฐานที่สอดคล้องกัน (หรือเทียบเท่าแทนเจนต์) มีการสำรวจพื้นผิวรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เหมาะสมกับข้อมูล ผลงานบางส่วนมีดังนี้:

การติดตั้งโดยตรงแบบ จำกัด ประเภทของพื้นผิว Quadric , James Andrews, Carlo H. Sequin การออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยและการใช้งาน, 10 (a), 2013, bbb-ccc
การปรับพีชคณิตของพื้นผิวสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับข้อมูล , I. Al-Subaihi และ GA Watson , มหาวิทยาลัยดันดี

เหมาะสมกับรูปทรง projective ยังถูกปกคลุมด้วยผลงานบางอย่างเช่นนี้

จากผลงานทั้งหมดนี้ฉันคิดว่าวิธีการของ Taubin สำหรับ Quadric fitting ค่อนข้างเป็นที่นิยม:

G. Taubin "การประมาณความโค้งของระนาบพื้นผิวและส่วนโค้งของอวกาศที่ไม่ได้ถูกกำหนดโดยสมการโดยนัยซึ่งมีการประยุกต์ใช้กับการแบ่งส่วนภาพขอบและช่วง ", IEEE Trans PAMI, Vol. 13, 1991, pp1115-1138

ขอสรุปสั้น ๆ A Quadric $Q$ สามารถเขียนในรูปแบบพีชคณิต:

f (c, x) = A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + 2 D x y + 2 E x z + 2 F y z + 2 G x + 2 H y + 2 I z + J

$f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = A x^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J$ โดยที่

c

$\mathbf{c}$ คือเวกเตอร์สัมประสิทธิ์และ

x

$\mathbf{x}$ เป็นพิกัดสามมิติ จุดใด ๆ

x

$\mathbf{x}$ อยู่บนสมการ

Q

$Q$ ถ้า

x^{T} Q x = 0

$\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}=0$ โดยที่:

Q = [\begin{matrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \end{matrix}]

$Q = \begin{bmatrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \\ \end{bmatrix}$

โดยหลักการเกี่ยวกับพีชคณิตเราต้องการแก้ปัญหาสำหรับพารามิเตอร์ที่ลดผลรวมของระยะทางเรขาคณิตกำลังสองระหว่างจุดและพื้นผิวกำลังสอง โชคไม่ดีที่ปรากฎว่านี่เป็นปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบไม่มีนูนโดยไม่มีวิธีการวิเคราะห์ที่รู้จัก แต่วิธีการมาตรฐานคือการแก้เพื่อให้พอดีกับพีชคณิตนั่นคือการแก้สำหรับพารามิเตอร์ $\mathbf{c}$ ที่ย่อเล็กสุด:

\sum_{i = 1}^{n} f (c, x^{i})^{2} = c^{T} M c

$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i)^2 = \mathbf{c}^T M \mathbf{c}$ กับ

M = \sum_{i = 1}^{n} l (x^{i}) l (x^{i})^{T}

$M = \sum\limits_{i=1}^{n} l(\mathbf{x}^i)l(\mathbf{x}^i)^T$ ซึ่ง

{x^{i}}

$\{\mathbf{x}^i\}$ เป็นจุดในคลาวด์พอยต์และ

l = [x^{2}, y^{2}, z^{2}, x y, x z, y z, x, y, z, 1]^{T}

$l = [x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz, x,y,z, 1]^T$

โปรดสังเกตว่าการลดขนาดโดยตรงลงนั้นจะทำให้ได้ผลเฉลยเล็กน้อยกับ $\mathbf{c}$ ที่จุดกำเนิด คำถามนี้ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางในวรรณคดี วิธีแก้ปัญหาหนึ่งที่พบว่าใช้งานได้ดีในทางปฏิบัติคือวิธีของ Taubin (ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) โดยแนะนำข้อ จำกัด :

‖ \nabla_{x} f (c, x^{i}) ‖^{2} = 1

$\| \nabla_x f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i) \|^2 = 1$

สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้ดังนี้: อนุญาต: ที่ตัวห้อยแสดงถึงอนุพันธ์ การแก้ปัญหาคือให้โดยทั่วไป Eigen สลายตัว0 เวกเตอร์พารามิเตอร์แบบพอดีนั้นมีค่าเท่ากับ Eigenvector ซึ่งสอดคล้องกับ Eigenvalue ที่น้อยที่สุด

N = \sum_{i = 1}^{n} l_{x} (x^{i}) l_{x} (x^{i})^{T} + l_{y} (x^{i}) l_{y} (x^{i})^{T} + l_{z} (x^{i}) l_{z} (x^{i})^{T}

$N = \sum\limits_{i=1}^n l_x(\mathbf{x}^i)l_x(\mathbf{x}^i)^T+ l_y(\mathbf{x}^i)l_y(\mathbf{x}^i)^T + l_z(\mathbf{x}^i)l_z(\mathbf{x}^i)^T$

(M - λ N) c = 0

$(M −\lambda N) \mathbf{c} = 0$

คำถามหลัก ในหลาย ๆ แอปพลิเคชันบรรทัดฐานของคลาวด์พอยต์จะพร้อมใช้งาน (หรือคำนวณ) บรรทัดฐานของ quadricสามารถคำนวณได้โดยการแยกความแตกต่างและทำให้พื้นผิวโดยนัยเป็นปกติ: $\mathbf{N}(x)$

N (x) = \frac{\nabla f (c, x)}{‖ \nabla f (c, x) ‖}

$\mathbf{N}(x) = \frac{\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})}{\|\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})\|}$ โดยที่

\nabla f (c, x) = 2 [\begin{matrix} A x + D y + F z + G \\ B y + D x + E z + H \\ C z + E y + F x + I \end{matrix}]

$\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = 2 \begin{bmatrix} Ax + Dy + Fz + G \\ By + Dx + Ez + H \\ Cz + Ey + Fx + I \\ \end{bmatrix}$

อย่างไรก็ตามวิธีการของ Taubin ใช้เฉพาะจุดเรขาคณิตและไม่ใช่พื้นที่แทนเจนต์ และฉันไม่ได้ตระหนักถึงวิธีการมากมายซึ่งเหมาะสำหรับการหารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เหมาะสมเช่นแทนเจนต์ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยังตรงกับแทนเจนต์ของเมฆจุดพื้นฐาน ฉันกำลังมองหาส่วนขยายที่เป็นไปได้ของวิธีการด้านบนหรืออื่น ๆ เพื่อครอบคลุมอนุพันธ์ลำดับแรกเหล่านี้

สิ่งที่ฉันต้องการจะประสบความสำเร็จอาจได้รับการกล่าวถึงเพียงบางส่วนในพื้นที่ที่มีมิติต่ำกว่าพร้อมกับพื้นผิวแบบดั้งเดิม (เส้นโค้ง) ยกตัวอย่างเช่นกระชับเส้นขอบภาพโดยคำนึงถึงข้อมูลการไล่ระดับสีที่ปกคลุมไปที่นี่ เครื่องบินที่เหมาะสม (รูปแบบง่าย ๆ ของ quadric) ไปยังเมฆสามมิติเป็นเรื่องธรรมดามาก ( ลิงค์ 1 ) หรือทรงกลมที่เหมาะสมหรือทรงกระบอกสามารถพอดีกับชุดจุดที่มุ่งเน้น ( ลิงค์ 2 ) ดังนั้นสิ่งที่ฉันสงสัยคือสิ่งที่คล้ายกัน แต่ดั้งเดิมที่ติดตั้งเป็นรูปสี่เหลี่ยม

ฉันยินดีต้อนรับการวิเคราะห์วิธีการที่เสนอเช่น:

จำนวนจุดโฟกัสขั้นต่ำที่ต้องการคือเท่าใด
เคสเสื่อมสภาพคืออะไร?
จะพูดอะไรเกี่ยวกับความทนทานหรือไม่

อัปเดต : ฉันต้องการนำเสนอทิศทางในการติดตาม อย่างเป็นทางการสิ่งที่ฉันต้องการบรรลุ:

‖ \nabla f - n ‖ = 0

$\| \nabla f - \mathbf{n} \| = 0$ ที่จุด{x} อาจเป็นไปได้หรือที่จะหลอมรวมกับวิธีของ Taubin เพื่อหาข้อ จำกัด เพิ่มเติมและลดการใช้ตัวคูณแบบ Lagrange?

x

$\mathbf{x}$

— Tolga Birdal
แหล่งที่มา

องค์ประกอบของ Q จำนวนมากอยู่ในตำแหน่งที่ไม่ถูกต้องใน Q หรือไม่

— Muse

คุณพูดถูกและตอนนี้ฉันได้แก้ไขสิ่งนี้แล้ว

— Tolga Birdal

คำตอบ:

ฉันรู้สึกประหลาดใจที่ไม่ได้รับคำตอบที่น่าพอใจสำหรับคำถามข้างต้นและการสอบสวนของฉันแสดงให้ฉันเห็นว่านี่เป็นพื้นที่ที่ไม่ได้สำรวจ ดังนั้นฉันใช้ความพยายามในการพัฒนาวิธีแก้ไขปัญหานี้และเผยแพร่ต้นฉบับต่อไปนี้:

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic และ P. Sturm "วิธีการที่เรียบง่ายเพื่อการตรวจจับแบบไม่เชื่อเรื่องพระเจ้าของ Quadrics ใน Point Clouds" การดำเนินการประชุม IEEE ด้านการมองเห็นคอมพิวเตอร์และการจดจำรูปแบบ 2018 http://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/html/Birdal_A_Minimalist_Approach_CVPR_2018_paper.html

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic และ P. Sturm, "การตรวจจับแบบดั้งเดิมทั่วไปใน Point Clouds โดยใช้นวนิยาย Quadric Minimal Quadric Fits" ในธุรกรรม IEEE เกี่ยวกับการวิเคราะห์รูปแบบและความฉลาดของเครื่อง https://arxiv.org/abs/1901.01255

ฉันจะสัมผัสความคิดหลักที่นี่:

วิธีนี้คล้ายกับการไล่ระดับสีที่เหมาะสม ( ) เราจัดเวกเตอร์ลาดของ quadricกับปกติของเมฆจุด 3 อย่างไรก็ตามต่างจากชุดเราเลือกที่จะใช้ข้อ จำกัด เชิงเส้นเพื่อเพิ่มอันดับแทนที่จะปรับแก้ปัญหาเป็นประจำ นี่ดูเหมือนจะไม่ใช่เรื่องเล็กน้อยในขณะที่เวกเตอร์ - เวกเตอร์การจัดเรียงนำข้อ จำกัด ที่ไม่ใช่เชิงเส้นอย่างใดอย่างหนึ่งของแบบฟอร์ม: $\nabla 1$ $\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)$ $\mathbf{n}_i \in \mathbb{R}^3$ $\nabla 1$

\begin{aligned} \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} - n_{i} = 0 or \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} \cdot n_{i} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} - \mathbf{n}_i\, = \,0\,\quad\text{or}\,\quad \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} \,\cdot\, \mathbf{n}_i\, = \,1. \end{align}$ ความไม่เชิงเส้นเกิดจากการทำให้เป็นมาตรฐานเนื่องจากเป็นการยากที่จะทราบขนาดและทำให้มีขนาดเป็นเนื้อเดียวกันล่วงหน้า เราแก้ปัญหานี้โดยการแนะนำสเกลแบบกลุ่มที่ไม่รู้จักและเขียน: โดยที่ สิ่งนี้สำหรับจุดทั้งหมดและ normalsนำไปสู่ระบบของฟอร์ม :

α_{i}

$\alpha_i$

\begin{aligned} \nabla Q (x_{i}) = \nabla v_{i}^{T} q = α_{i} n_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \mathbf{Q}( \mathbf{x}_i) = \nabla \mathbf{v}^T_i \mathbf{q} = \alpha_i \mathbf{n}_i \end{align}$

v = {[\begin{matrix} x^{2} & y^{2} & z^{2} & 2 x y & 2 x z & 2 y z & 2 x & 2 y & 2 z & 1 \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x^2 & y^2 & z^2 & 2xy & 2xz & 2yz & 2x & 2y & 2z & 1 \end{bmatrix}^T$

N

$N$

x_{i}

$\mathbf{x}_i$

n_{i}

$\mathbf{n}_i$

A^{'} q = 0

$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{q}=\mathbf{0}$

[\begin{matrix} v_{1}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ v_{2}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ v_{n}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \nabla v_{1}^{T} & - n_{1} & 0_{3} & \dots & 0_{3} \\ \nabla v_{2}^{T} & 0_{3} & - n_{2} & \dots & 0_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \nabla v_{n}^{T} & 0_{3} & 0_{3} & \dots & - n_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ ⋮ \\ I \\ J \\ α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix}] = 0

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \mathbf{v}^T_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \mathbf{v}^T_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{v}^T_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ {\nabla \mathbf{v}_1^T} & -\mathbf{n}_1 & \mathbf{0}_3 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ {\nabla \mathbf{v}_2^T} & \mathbf{0}_3 & -\mathbf{n}_2 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\nabla \mathbf{v}_n^T} & \mathbf{0}_3 & \mathbf{0}_3 & \cdots & -\mathbf{n}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ \vdots \\ I \\ J \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} = \mathbf{0} \end{equation}$ - \ mathbf {n} _n \ end {bmatrix} \ start {bmatrix} A \\ B \\ \ vdots \\ ฉัน \\ J \\ \ alpha_1 \\ \ alpha_2 \\ \ alpha_n \ end { bmatrix} = \ mathbf {0} \ end {สมการ} โดยที่ ,คือ

\nabla v_{i}^{T} = \nabla v (x_{i})^{T} \in R^{3 \times 10}

${\nabla \mathbf{v}_i^T}= {\nabla \mathbf{v}(\mathbf{x}_i)^T \in \mathbb{R}^{3\times 10}}$

0_{3}

$\mathbf{0}_3$

3 \times 1

$3\times 1$ คอลัมน์เวกเตอร์ของศูนย์คือและเป็นเกล็ดที่ไม่รู้จักเหมือนกัน

A^{'}

$\mathbf{A}^\prime$

4 N \times (N + 10)

$4N\times(N+10)$

α = {α_{i}}

$\boldsymbol{\alpha}=\{\alpha_i\}$

ในขณะที่วิธีการแก้ปัญหาของสูตรนี้อยู่ใน nullspace ของให้ผลลัพธ์ที่ยอมรับได้ระบบจะไม่มีข้อ จำกัด ในสิ่งที่มันสามารถทำได้ (ตัวประกอบสเกลนั้นฟรีเกินไป) มันจะดีกว่าที่จะหา regularizer ที่เหมาะสมที่ไม่ซับซ้อนเกินไปที่จะใช้ ในทางปฏิบัติอีกครั้งหนึ่งคล้ายกับการไล่ระดับสีที่เหมาะสมเราสามารถชอบการไล่ระดับสีแบบพหุนาม - หน่วยและทำให้สามารถเขียนหรือเทียบเท่าซึ่งเป็นหนึ่งในปัจจัยระดับ ข้อ จำกัด ที่อ่อนนุ่มนี้ $\mathbf{A}^{\prime}$ $\alpha_i=1$ $\alpha_i \gets \bar{\alpha}$ จะพยายามบังคับชุดพหุนามให้เคารพศูนย์ต่อเนื่องของข้อมูล การทำให้เป็นมาตรฐานดังกล่าวช่วยให้เราไม่สามารถแก้ไขระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ละเอียดอ่อนและช่วยให้เราเขียนระบบในรูปแบบที่กะทัดรัดมากขึ้น : $\mathbf{A}\mathbf{q}=\mathbf{n}$

[\begin{matrix} x_{1}^{2} & y_{1}^{2} & z_{1}^{2} & 2 x_{1} y_{1} & 2 x_{1} z_{1} & 2 y_{1} z_{1} & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 1 \\ x_{2}^{2} & y_{2}^{2} & z_{2}^{2} & 2 x_{2} y_{2} & 2 x_{2} z_{2} & 2 y_{2} z_{2} & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 1 \\ ⋮ \\ 2 x_{1} & 0 & 0 & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{1} & 0 & 2 x_{1} & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 x_{2} & 0 & 0 & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{2} & 0 & 2 x_{2} & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ n_{x}^{1} \\ n_{y}^{1} \\ n_{z}^{1} \\ n_{x}^{2} \\ n_{y}^{2} \\ n_{z}^{2} \\ \dots \end{matrix}]

$\small \begin{bmatrix} x_1^2 & y_1^2 & z_1^2 & 2x_1y_1 & 2x_1z_1 & 2y_1z_1 & 2x_1 & 2y_1 & 2z_1 & 1\\ x_2^2 & y_2^2 & z_2^2 & 2x_2y_2 & 2x_2z_2 & 2y_2z_2 & 2x_2 & 2y_2 & 2z_2 & 1\\ &&&& \vdots &&&&&\\ 2x_1 & 0 & 0 & 2y_1 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_1 & 0 & 2x_1 & 0 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_1 & 0 & 2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 2x_2 & 0 & 0 & 2y_2 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_2 & 0 & 2x_2 & 0 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_2 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & 0 & 0 & 2 & 0\\ &&&& \vdots &&&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ {n}^1_x \\ {n}^1_y \\ {n}^1_z \\ {n}^2_x \\ {n}^2_y \\ {n}^2_z \\ \dots \end{bmatrix}$

ทั้งหมดในทุกการแก้ระบบสมการนี้พร้อมกันจะนำรูปสี่เหลี่ยมที่เกิดขึ้นกับเมฆจุดในขณะที่การไล่ระดับสีของมันไปสู่บรรทัดฐาน นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะชั่งน้ำหนักการมีส่วนร่วมของคะแนนและบรรทัดฐานแตกต่างกัน ในบางกรณีเพื่อให้ได้พอดีแบบเฉพาะการออกแบบใหม่ของปรับให้เหมาะกับความพอเพียงดั้งเดิมที่ต้องการ สำหรับรายละเอียดทั้งหมดเหล่านี้รวมถึงการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีและการหลอกรหัสฉันแนะนำคุณไปยังสิ่งตีพิมพ์ดังกล่าวข้างต้น $\mathbf{A}$

— Tolga Birdal
แหล่งที่มา

มันเยี่ยมมาก! เราจะแก้ไข A เพื่อให้น้ำหนักการมีส่วนร่วมของคะแนนและบรรทัดฐานแตกต่างกันอย่างไร

— Muse

เพียงแค่คูณแถวแรกที่เป็นสมการจุดด้วยน้ำหนักที่ต้องการ เลือกที่จะไต่แถวที่สอดคล้องกับภาวะปกติหนึ่งยังจะต้องปรับขนาดด้านขวามือของสมการ:{n}

n

$\mathbf{n}$

— Tolga Birdal

ขอบคุณ ไม่ควรลบสัญลักษณ์การแปลงจาก q และ n ในสมการสุดท้ายหรือไม่?

— รำพึง

ขอบคุณอีกครั้ง. ลบออก

— Tolga Birdal

ฉันรู้ตัวอย่างหนึ่งซึ่งบรรทัดฐานได้รวมอยู่ในขั้นตอนการฟิตติ้ง มันไม่ได้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยตรง แพทช์ parametrized ในท้องถิ่นจะติดตั้งกับจุดและบรรทัดฐาน การใช้ normals ให้สมการมากขึ้นในปัญหาการกระชับทำให้สามารถใช้ชื่อพหุนามสูงขึ้นได้

อัลกอริธึมสั่งลูกบาศก์ใหม่สำหรับการประมาณเวกเตอร์ทิศทางหลัก

— Abhilash Reddy M
แหล่งที่มา

ดูเอกสารนี้ด้วย

การแก้ไข Hermite ของพื้นผิวโดยนัยที่มีฟังก์ชั่นฐานเรเดียล

และส่วนขยาย ist

ฟังก์ชันพื้นฐานของ Hermite Radial หมายถึง

— LHF
แหล่งที่มา