การลู่เข้าที่ไม่ใช่แบบโมโนโทนิกในปัญหาจุดคงที่

พื้นหลัง

ฉันกำลังแก้ไขตัวแปรของสมการOrnstein-Zernikeจากทฤษฎีของเหลว abstractly ปัญหาสามารถแสดงเป็นการแก้ปัญหาจุดคงค( R ) = C ( R )ที่เป็นผู้ดำเนิน Integro-เกี่ยวกับพีชคณิตและค( R )เป็นฟังก์ชั่นการแก้ปัญหา (ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ OZ โดยตรง) ฉันกำลังแก้ไขโดยการทำซ้ำของ Picard ซึ่งฉันได้เตรียมโซลูชันทดลองใช้เบื้องต้นc 0 ( r )และสร้างโซลูชันทดลองใช้ใหม่โดยโครงการ c j + 1 = α ($A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$ ที่ αเป็นพารามิเตอร์ที่ปรับค่าได้ซึ่งควบคุมการผสมของ cและ A c ที่ใช้ในโซลูชันทดลองใช้ถัดไป สำหรับการสนทนานี้สมมติว่าค่าของ αนั้นไม่สำคัญ ฉันทำซ้ำจนกว่าซ้ำลู่ไปภายในความอดทนต้องการ ε : Δ J + 1 ≡ ∫ d → R | c j + 1 ( r ) -

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$$\alpha$$\epsilon$ ในตัวแปรของปัญหา Aขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ λและคำถามของฉันเกี่ยวกับการลู่ของ A c = cขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์นี้ $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

สำหรับค่าที่หลากหลายสำหรับชุดการวนซ้ำด้านบนจะมาบรรจบกันอย่างรวดเร็วแบบทวีคูณ อย่างไรก็ตามในขณะที่ฉันลดระดับλในที่สุดฉันก็มาถึงระบอบการปกครองที่คอนเวอร์เจนซ์นั้นไม่ใช่แบบโมโนโทนิกดังภาพด้านล่าง $\lambda$$\lambda$

คำถามสำคัญ

ในการแก้ปัญหาแบบวนซ้ำเพื่อแก้ไขปัญหาจุดคงที่การลู่เข้าที่ไม่ใช่โมโนโพนิคมีความสำคัญเป็นพิเศษหรือไม่? มันเป็นสัญญาณว่ารูปแบบการวนซ้ำของฉันใกล้จะขาดเสถียรภาพหรือไม่? สิ่งสำคัญที่สุดคือการบรรจบที่ไม่ใช่โมโนโทนทำให้ฉันสงสัยว่าการแก้ปัญหาแบบ "แปรสภาพ" ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาจุดคงที่ที่ดีหรือไม่?

$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. $\lambda$

2. หากวิธีการแก้ปัญหาของคุณมาบรรจบกันภายในความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้อย่างถูกต้องซึ่งรวมถึงตัวเลขขนาดเล็กก็มีเช่นกัน