ฉันจะประมาณค่าอินทิกรัลไม่ถูกต้องได้อย่างไร

ฉันมีฟังก์ชั่นเช่นนั้น∫ R 3 f ( x , y , z ) d V มี จำกัด และฉันต้องการประมาณอินทิกรัลนี้ $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

ฉันคุ้นเคยกับกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและการประมาณ monte carlo ของอินทิกรัล แต่ฉันเห็นความยากลำบากในการนำไปใช้กับโดเมนที่ไม่มีขอบเขต ในกรณีมอนเต้คาร์โลเราจะสุ่มตัวอย่างพื้นที่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดได้อย่างไร (โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าพื้นที่ที่มีส่วนสำคัญยิ่งต่ออินทิกรัลไม่ทราบ) ในกรณีพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสฉันจะหาจุดที่ดีที่สุดได้อย่างไร ฉันควรแก้ไขพื้นที่ขนาดใหญ่โดยพลการที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและใช้กฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบกระจัดกระจายหรือไม่? ฉันจะประมาณค่าอินทิกรัลนี้ได้อย่างไร

ในมิติเดียวคุณสามารถแมปช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดของคุณกับช่วงเวลาที่ จำกัด โดยใช้การรวมด้วยการทดแทนเช่น

โดยที่เป็นฟังก์ชันที่ไปหาอนันต์ในขอบเขต จำกัด บางช่วงเช่นtan ( x ) :$u(x)$$\tan(x)$

จากนั้นคุณสามารถใช้รูทีนการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสใด ๆ ปกติสำหรับอินทิกรัล จำกัด

การแทนที่ตัวแปรหลายตัวนั้นค่อนข้างยุ่งยาก แต่ก็ได้อธิบายไว้ที่นี่แล้ว

$f(x)$$e^{-x^2}$$f$

$R^3$$e^{-|x|^2}$

สูตรออนไลน์อยู่ที่http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

สำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งมิติคุณสามารถตรวจสอบหนังสือบนQuadpack ( old old oldแต่ยังคงมีความเกี่ยวข้องมากในการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งมิติ) และเทคนิคที่ใช้ในอัลกอริทึม QAGI ซึ่งเป็นผู้รวบรวมอัตโนมัติสำหรับช่วงอนันต์

เทคนิคก็คือสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสดับเบิลชี้แจงการดำเนินการอย่างดีสำหรับช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยOoura

สำหรับ cubature คุณสามารถศึกษาสารานุกรมสูตร cubatureโดย Ronald Cools

$f(x)$$\tilde f(x)$$\tilde f$$f$

$f(x)$$\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$$p(x)$$f(x)e^{x^2}$$\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

หากคุณต้องการใช้การรวม Monte Carlo คุณสามารถเริ่มต้นด้วยการสุ่มตัวอย่างที่สำคัญด้วยตัวอย่างที่ประมาณคร่าวๆของการรวม ตัวอย่างที่ดีกว่าของคุณตรงกับการรวมและความแปรปรวนน้อยลงในการประมาณการของคุณหนึ่ง ไม่สำคัญว่าโดเมนของคุณจะไม่มีที่สิ้นสุดตราบใดที่ตัวอย่างของคุณมีโดเมนเดียวกัน