Eigenvector ของการปรับบรรทัดฐานขนาดเล็ก

ฉันมีชุดข้อมูลที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆและฉันต้องติดตาม eigenvector / eigenvalues ​​ของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม

ฉันใช้scipy.linalg.eighแต่มันแพงเกินไปและไม่ได้ใช้ความจริงที่ว่าฉันมีการสลายตัวที่ไม่ถูกต้องเพียงเล็กน้อยเท่านั้น

ใครช่วยแนะนำวิธีที่ดีกว่าในการจัดการกับปัญหานี้ได้หรือไม่?

$A(t)$$A(t + \delta t)$

วิธีการติดตามสเปซเห็นได้ชัดว่ามีประโยชน์มากขึ้น(3) ข้อความที่ตัดตอนมาจาก(4) :

การคำนวณซ้ำของคู่ eigen สุดขั้ว (สูงสุดหรือต่ำสุด) (eigenvalue และ eigenvector) สามารถย้อนกลับไปได้ในปี 1966 [72] ในปี 1980 ทอมป์สันเสนออัลกอริทึมการปรับตัวแบบ LMS สำหรับการประเมินค่าไอเกนเวคเตอร์ซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะน้อยที่สุดของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมตัวอย่างและให้อัลกอริทึมการติดตามแบบปรับตัวของมุม / ความถี่ ซาร์การ์และคณะ [73] ใช้อัลกอริธึมการไล่ระดับสีแบบคอนจูเกตเพื่อติดตามความแปรปรวนของไอเก็นเวกเตอร์สุดขั้วซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสัญญาณที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆและพิสูจน์การลู่เข้าที่รวดเร็วกว่า วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อติดตามค่าสุดขั้วเดี่ยวและไอเกนนิคเตอร์ด้วยแอพพลิเคชั่นที่ จำกัด แต่หลังจากนั้นพวกเขาก็ถูกขยายสำหรับวิธีการติดตามและอัพเดท eigen-subspace ในปี 1990, Comon และ Golub [6] เสนอวิธีการ Lanczos สำหรับการติดตามค่าเอกพจน์สุดขั้วและเวกเตอร์เอกพจน์ซึ่งเป็นวิธีการทั่วไปที่ออกแบบมาเพื่อกำหนดปัญหา eigen ขนาดใหญ่และกระจัดกระจาย$Ax = kx$

[6]: Comon, P. , & Golub, GH (1990) ติดตามค่าเอกพจน์และเวกเตอร์สุดขีดสองสามตัวในการประมวลผลสัญญาณ ในการประมวลผลของ IEEE (pp. 1327–1343)

[14]: Thompson, PA (1980) เทคนิคการวิเคราะห์สเปกตรัมแบบปรับตัวสำหรับความถี่ที่ไม่เอนเอียง

[72]: Bradbury, WW, & Fletcher, R. (1966) วิธีการวนซ้ำใหม่สำหรับการแก้ปัญหาของ eigenproblem คณิตศาสตร์เชิงตัวเลข, 9 (9), 259–266

[73]: Sarkar, TK, Dianat, SA, Chen, H. , & Brule, JD (1986) การประมาณค่าสเปกตรัมที่ปรับได้ด้วยวิธีการไล่ระดับสีแบบคอนจูเกต ธุรกรรม IEEE เกี่ยวกับการประมวลผลเสียงพูดและสัญญาณ, 34 (2), 272–284

[74]: โหลด Golub, GH และ Van, CF (1989) การคำนวณเมทริกซ์ (2nd ed.) บัลติมอร์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยจอห์นฮอปกิ้นส์

ฉันควรพูดถึงว่าวิธีแก้สมมาตรเมทริกซ์เช่นสิ่งที่คุณต้องแก้ไขเมื่อคุณใช้งานscipy.linalg.eighนั้นค่อนข้างถูก หากคุณสนใจค่าลักษณะเฉพาะเพียงไม่กี่ค่าคุณอาจพบการปรับปรุงความเร็วในวิธีการของคุณเช่นกัน วิธี Arnoldi มักใช้ในสถานการณ์เช่นนี้

$t^0$$\mathcal{O}(N^3)$$\mathcal{O}(k N^2)$$N$$k$

นี่คือคู่ของการอ้างอิงที่เกี่ยวข้อง:

Eigendecomposition Adaptive Eomendecomposition ของเมทริกซ์ข้อมูลความแปรปรวนตาม Perturbations สั่งซื้อครั้งแรก (แชมเปญ IEEE TSP 42 (10) 1994)

การอัพเดทซ้ำการสลายตัว eigenvalue ของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม (Yu, IEEE TSP, 39 (5) 1991)

การวิเคราะห์องค์ประกอบหลักออนไลน์ในมิติสูง: อัลกอริทึมใดให้เลือก (Cardot และ Degras)

อัลกอริทึมที่เสถียรและรวดเร็วสำหรับการอัปเดตการสลายตัวของค่าเอกพจน์ (Gu and Eisenstadt, 1994)