มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับเศษส่วนต่อเนื่องที่มีค่าเมทริกซ์หรือไม่

สมมติว่าฉันมีสมการเมทริกซ์ที่กำหนดซ้ำเป็น

A[n] = inverse([1 - b[n]A[n+1]]) * a[n]

จากนั้นสมการสำหรับ A [1] จะดูคล้ายกับเศษส่วนต่อเนื่องซึ่งมีวิธีการที่มีประสิทธิภาพสูงบางอย่างที่หลีกเลี่ยงการคำนวณซ้ำที่น่าเบื่อ (ดู "สูตรอาหารเชิงตัวเลข" สำหรับตัวอย่างบางส่วน)

อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่ามีวิธีการเปรียบเทียบที่อนุญาตให้สัมประสิทธิ์ b [n] และ [n] เป็นเมทริกซ์โดยมีข้อ จำกัด เพียงอย่างเดียวที่ b [n] A [n + 1] เป็นเมทริกซ์จตุรัสดังนั้นเมทริกซ์

1 - b[n]A[n+1]

กลับด้านได้จริง

algorithms

— Lagerbaer
แหล่งที่มา

นี่คือคำถามที่คุณถามในวิชาคณิตศาสตร์ไม่กี่เดือนก่อนใช่ไหม? คือตารางหรือรูปสี่เหลี่ยม?

A

$A$

— JM

ฉันจำได้ว่ามีใครบางคนในความคิดเห็นที่ math.SE แนะนำฉันถามนี้ที่นี่เมื่อเบต้าออนไลน์ :) ในกรณีพิเศษของฉัน A เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สม recursive สอดคล้องกับชุดลำดับชั้นของสมการและจำนวนของปริมาณที่เติบโตขึ้นกับn

ในกรณีของฉันมิติของ A [n] คือ nx (n-1)

n

$n$

— Lagerbaer

แค่อยากรู้อยากเห็นแอปพลิเคชันที่คุณต้องการใช้สำหรับทำอะไร

— Hjulle

สั้น ๆ มากโดยใช้ตัวตนของไดสันสำหรับแฮมิลตันโดยเฉพาะอย่างยิ่งการสร้างฟังก์ชั่นสีเขียวที่ฉันสามารถฉลากที่มีดัชนีบางN

การรวบรวมฟังก์ชั่นทั้งหมดที่มีดัชนีเดียวกันเป็นเวกเตอร์

อนุญาตให้ฉันเขียน

N

$N$

V_{N}

$V_N$

V_{N} = α_{N} V_{N - 1} + β_{N} V_{N + 1}

$V_N = \alpha_N V_{N-1} + \beta_N V_{N+1}$ โดยใช้เอกลักษณ์ของไดสันและการประมาณที่เหมาะสม การใช้การตัดเพื่อให้

สำหรับทุก

ช่วยให้ฉันค้นหาเมทริกซ์

เพื่อให้

V_{N} = 0

$V_N = 0$

n \geq N

$n \ge N$

A_{n}

$A_n$

และเมทริกซ์เหล่านี้ได้จากสมการเศษส่วนต่อเนื่องของฉัน ยกตัวอย่างเช่นเทคนิคนี้สามารถคำนวณฟังก์ชั่นของ Lattice Green สำหรับรุ่นที่มีผลผูกพันได้

V_{n} = A_{n} V_{n - 1}

$V_n = A_n V_{n-1}$

— Lagerbaer

มันไม่ใช่สาขาของฉัน แต่ฉันกลับไปที่การสัมมนาซึ่งมีบางสิ่งที่เกี่ยวข้องกับปัญหานี้ถูกนำเสนอ [ที่นี่] [1] เป็นเพียงร่องรอยเดียวที่ฉันสามารถหาได้ออนไลน์ ฉันไม่รู้จริงๆว่ามันช่วยได้หรือเปล่า [1]: mh2009.ulb.ac.be/ResActiv.pdf

— user189035

คำตอบ:

สองวิธีต่อไปนี้มีให้ในฟังก์ชั่นการฝึกอบรม: ทฤษฎีและการคำนวณโดย Nicholas Higham หน้า 81 สูตรเหล่านี้ประเมิน

โดยที่คือเมทริกซ์จตุรัส

r (X) = b_{0} + \frac{a_{1} X}{b_{1} + \frac{a_{2} X}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X}{b_{2 m}}}}}

$r(X) = b_0 + \frac{a_1 X}{b_1+\frac{a_2 X}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X}{b_{2m}}}}}$

X

$X$

วิธีการจากบนลงล่าง:

$P_{−1}=I, Q_{−1}=0,P_0 =b_0 I,Q_0 =I$

สำหรับ j = 1: 2m

$P_j =b_j P_{j−1}+a_jXP_{j−2}$

$Q_j =b_j Q_{j−1}+a_j X Q_{j−2}$

ปลาย

$r_m =P_{2m} Q_{2m}^{-1}$

วิธีการจากล่างขึ้นบน:

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X$

สำหรับ j = 2m − 1: −1: 1

แก้สำหรับ J $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_jX$ $Y_j$

ปลาย

$r_m=b_0I+Y_1$

คำถามที่ถามสำหรับการประเมินรูปแบบทั่วไปมากขึ้น

b_{0} + \frac{a_{1} X_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2} X_{2}}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X_{2 m - 1}}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X_{2 m}}{b_{2 m}}}}}

$b_0 + \frac{a_1 X_1}{b_1+\frac{a_2 X_2}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X_{2m-1}}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X_{2m}}{b_{2m}}}}}$

สิ่งนี้สามารถประเมินได้โดยการวางนัยทั่วไปอย่างง่ายของสูตรข้างต้น เช่นวิธีการจากล่างขึ้นบนจะกลายเป็น

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X_{2m}$

สำหรับ j = 2m − 1: −1: 1

แก้สำหรับ J $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_j X_j$ $Y_j$

ปลาย

1 $r_m=b_0I+Y_1$

— เดวิดเคตเชสัน
แหล่งที่มา

มันดูน่าสนใจมาก ฉันจะดูว่าฉันสามารถนำไปใช้กับปัญหาเฉพาะของฉันได้หรือไม่ แต่ตอบคำถามได้ตั้งแต่ b [n] * A [n + 1] เป็นเมทริกซ์

— จตุรัส

อ่า แต่ฉันเพิ่งสังเกตุว่าเมทริกซ์

นั้นเหมือนกันทุกที่ในโซลูชันของคุณ แต่ของฉันไม่จำเป็น

X

$X$

— Lagerbaer

โอเคฉันได้สรุปแล้ว

— David Ketcheson

ฉันรู้ว่าคำตอบนี้สร้างข้อสันนิษฐานได้มากมาย แต่อย่างน้อยก็เป็นการสรุปอัลกอริทึมของคุณ:

$\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $V_N$ $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $U' V_N U = \Lambda_N$ $U' A_n U = \Omega_n$ $U' B_n U = \Delta_n$ $U$ $\Lambda_N$ $\{\Omega_n\}$ $\{\Delta_n\}$

เมื่อเราได้กล่าวว่าการสลายตัวโดยการเหนี่ยวนำ

V_{n} = (I - B_{n} V_{n + 1})^{- 1} A_{n} = (I - U Δ_{n} U^{'} U Λ_{n + 1} U^{'})^{- 1} U Ω_{n} U^{'},

$V_n = (I - B_n V_{n+1})^{-1} A_n = (I - U \Delta_n U' U\Lambda_{n+1} U')^{-1} U \Omega_n U',$

which can be rearranged into the form

V_{n} = U (I - Δ_{n} Λ_{n + 1})^{- 1} Ω_{n} U^{'} \equiv U Λ_{n} U^{'},

$V_n = U (I - \Delta_n \Lambda_{n+1})^{-1} \Omega_n U' \equiv U \Lambda_n U',$

where $\Lambda_n$ is of course still diagonal, so the entire family $\{V_n\}$ will necessarily commute with the other operators, and we have shown that the diagonal values of each $\Lambda_n$ are decoupled, so your fast scalar recursion formula can be applied independently on the eigenvalues of $V_N$ and the coefficient matrices.

Note that a special case is when $A_n \equiv \alpha_n I$ and $B_n \equiv \beta_n I$ , so that the only requirement is that $V_N$ be a normal matrix.

— Jack Poulson
แหล่งที่มา