ตัวชี้วัดที่ใช้กันทั่วไปเพื่อวัดความผิดปกติของตาข่ายสามเหลี่ยม

สมมติว่าคุณมีตาข่ายสามเหลี่ยมบนระนาบแบน สิ่งนี้ได้ถูกวาดขึ้นมาเพื่อแก้ปัญหาบางอย่างในด้านกลไกเช่น

ตาข่ายของสามเหลี่ยมด้านเท่านั้นเป็นสิ่งที่ดีที่สุดเพราะระยะทางระหว่างจุดยอดและระหว่างเซนทรอยด์นั้นเท่ากันหมด สิ่งนี้ทำให้การแก้ไขและการคำนวณการไล่ระดับสีเป็นงานที่ง่ายและแม่นยำ อย่างไรก็ตามเนื่องจากข้อ จำกัด และสถานการณ์มันเป็นไปไม่ได้เสมอที่จะทำงานบนเครือข่ายของสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมด

ดังนั้นคำถามที่เกี่ยวกับตาข่ายขององค์ประกอบรูปสามเหลี่ยมของรูปร่างโดยพลการ

เกี่ยวกับองค์ประกอบตาข่ายของแต่ละบุคคล ตัวชี้วัดแบบใดที่ใช้กันทั่วไปในการหาปริมาณความแตกต่างของรูปสามเหลี่ยมทั่วไปหนึ่งรูปจากรูปร่างด้านเท่ากันหมดในอุดมคติ

เกี่ยวกับตาข่ายทั้ง ตัวชี้วัดใดที่ใช้ในการจัดปริมาณความไม่สม่ำเสมอของตาข่ายของสามเหลี่ยมใด ๆ ตัวชี้วัดเหล่านี้ควรระบุว่าสัญญาณรบกวนนั้นเป็นอย่างไร

ขอบคุณที่คิดไว้

หมายเหตุการ มีส่วนร่วมทั้งหมดจากชุมชนองค์ประกอบ จำกัด ได้รับการชื่นชมอย่างมาก สำหรับคำถามนี้โปรดทราบว่าความสนใจคือการหาปริมาณความแตกต่างอย่างหมดจดในเรขาคณิต (โดยพลการกับสามเหลี่ยมด้านเท่า ผลที่ตามมาในการแก้ไขข้อผิดพลาดและการแก้ไขอยู่นอกขอบเขต ที่ได้รับเหล่านี้สามารถมีความเข้าใจและมีความเกี่ยวข้องพวกเขาซับซ้อนการจัดการทางคณิตศาสตร์

@Nicoguaro และ @Paul ได้กล่าวถึงความคิดเห็นในโพสต์คำถามมีหลายวิธีในการทำสิ่งนี้และฉันไม่แน่ใจว่ามีวิธี "ดีที่สุด" เดียวหรือไม่

จากการศึกษาทบทวนของJonathan Richard Shewchuckที่ Berkley คำตอบคือ:

โปรดอ้างถึงเอกสารต้นฉบับ (รุ่น 31/12/2545) สำหรับสัญลักษณ์คำศัพท์คุณสมบัติพิเศษและอื่น ๆ ที่อาจเป็นไปได้ (เช่น tetrahedra) บทที่ 6 เป็นเรื่องเกี่ยวกับการวัดคุณภาพ เอกสารที่เชื่อมโยงกับเป็นรุ่นเพิ่มเติมและในหน้าเว็บของ JRS ก็มีฉบับย่อ

โดยส่วนตัวฉันเป็นแฟนตัวชี้วัดของ "ความยาวระดับเสียง" มันเป็นตัวบ่งชี้สเกลาร์ที่ดีที่มีคุณภาพ (isotropic) simplex และมีราคาถูกในการคำนวณ ในสองมิติ:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

โดยที่คือพื้นที่ที่ลงชื่อของรูปสามเหลี่ยมและคือความยาวของรูทค่าเฉลี่ยเหลี่ยม องค์ประกอบในอุดมคติจะได้ซึ่งจะลดลงเป็นศูนย์โดยมีการบิดเบือนเพิ่มขึ้น องค์ประกอบคว่ำด้วยการวางตรงกันข้ามมี<0$A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

ในการประเมินคุณภาพของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีโครงสร้างเป็นเรื่องปกติที่จะดูฮิสโตแกรมของตัวชี้วัดคุณภาพองค์ประกอบดังกล่าว มีหลายการใช้งานของสิ่งต่างๆออกมี แต่คนตรงไปข้างหน้าMATLABรหัสฐานของฉันเป็นที่นี่

นอกเหนือจากคะแนนความยาวของปริมาตรฮิสโตแกรมของมุมองค์ประกอบและระดับของจุดสุดยอดก็คำนวณตามค่าเริ่มต้นเช่นกัน

ฉันไม่คิดว่ามีคำตอบสำหรับคำถามนี้โดยทั่วไปเพราะทุกอย่างขึ้นอยู่กับการใช้งานที่ต้องการสำหรับตาข่าย ตัวอย่างเช่นหากคุณกำลังทำการเปลี่ยนแปลงของไหลเชิงคำนวณคุณอาจต้องการตาข่ายที่มีความแอนไอโซทรอปิกใกล้กับชั้นเขตแดนมาก ตอนนี้ถ้าคุณกำลังทำแม่เหล็กไฟฟ้าคำนวณตาข่ายที่ดีที่สุดอาจจะแตกต่างอย่างสิ้นเชิง

มีอยู่ในวรรณกรรมคำจำกัดความต่าง ๆ มากมายสำหรับเกณฑ์ "คุณภาพตาข่าย" ส่วนใหญ่ของพวกเขาจะชอบตาข่ายกับสามเหลี่ยมที่มีความเท่าเทียมกันมากที่สุด เรายังสามารถกล่าวถึงแนวคิดในการเพิ่มมุมที่เล็กที่สุด (ซึ่งเป็นผลมาจากการหาสมการของ Delaunay สำหรับชุดของจุดคงที่) มันเป็นธรรมจากการวิเคราะห์ของโจนาธานชิวชุคที่กล่าวถึงในความคิดเห็นซึ่งเกี่ยวข้องกับมุมนี้กับจำนวนเงื่อนไขของเมทริกซ์ความแข็งสำหรับสมการ Laplace ที่แยกด้วยองค์ประกอบ P1 แต่อีกครั้งขึ้นอยู่กับการใช้งานที่ต้องการตาข่ายที่ดีของใครบางคน ตาข่ายไม่ดีอื่น

ฉันไม่คิดว่ามันสมเหตุสมผล "ปริมาณความแตกต่างอย่างหมดจดในเรขาคณิต (โดยพลการเทียบกับสามเหลี่ยมด้านเท่า)": ก่อนที่จะวัดว่าสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและตัดสินใจว่า "เบี่ยงเบน wrt equilaterality" เป็นสิ่งที่ดีที่สุด ไม่ว่า "สามเหลี่ยมด้านเท่า" คือสิ่งที่เราต้องการและมันก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป! ทุกอย่างมาจาก "การแก้ไขและการปรับ" ที่คุณพูดถึง ใช่อย่างที่คุณพูดว่า "มันยุ่งยากในการจัดการทางคณิตศาสตร์" แต่ถ้าไม่มีมันก็เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างความแตกต่างระหว่างเกณฑ์วัตถุประสงค์สำหรับแอปพลิเคชันที่กำหนดและเกณฑ์ที่ไม่สมเหตุสมผลเลย