ทำไมมิติเวลาจึงพิเศษ

พูดโดยทั่วไปฉันได้ยินนักวิเคราะห์เชิงตัวเลขแสดงความคิดเห็นว่า

"แน่นอนการพูดทางคณิตศาสตร์เวลาเป็นอีกมิติหนึ่ง แต่ยังคงเวลาเป็นพิเศษ"

วิธีที่จะพิสูจน์เรื่องนี้? เวลาพิเศษสำหรับวิทยาศาสตร์การคำนวณในแง่ใด

ยิ่งกว่านั้นทำไมเราถึงชอบใช้ความแตกต่างอัน จำกัด บ่อยครั้ง (นำไปสู่ ​​"การก้าวข้ามเวลา") สำหรับมิติเวลาในขณะที่เราใช้ความแตกต่างอันตะขอบเขต, องค์ประกอบ จำกัด , วิธีสเปกตรัม, ... , สำหรับมิติอวกาศ? เหตุผลหนึ่งที่เป็นไปได้คือเรามักจะมี IVP ในมิติเวลาและ BVP ในมิติเชิงพื้นที่ แต่ฉันไม่คิดว่ามันจะเป็นเหตุผลที่ชอบธรรม

Causality บ่งชี้ว่าข้อมูลไหลไปข้างหน้าตรงเวลาและอัลกอริทึมควรได้รับการออกแบบเพื่อใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงนี้ แผนการก้าวข้ามเวลาทำเช่นนี้ในขณะที่วิธีการสเปกตรัมในเวลาทั่วโลกหรือความคิดอื่นไม่ได้ทำ คำถามคือแน่นอนว่าทำไมทุกคนยืนยันในการใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงนี้ - แต่มันง่ายที่จะเข้าใจ: ถ้าปัญหาอวกาศของคุณมีล้านนิรนามและคุณต้องทำ 1,000 ขั้นตอนแล้วในเครื่องทั่วไปวันนี้คุณมีทรัพยากรเพียงพอที่จะแก้ไข ปัญหาเกี่ยวกับอวกาศด้วยตัวเองหนึ่งการประทับเวลาหลังจากที่อื่น แต่คุณมีทรัพยากรไม่เพียงพอที่จะจัดการกับปัญหาคู่ที่ไม่รู้จัก$10^9$

สถานการณ์ไม่แตกต่างจากสิ่งที่คุณมีกับปรากฏการณ์การขนส่งเชิงพื้นที่อย่างสิ้นเชิง แน่นอนว่าคุณสามารถทำให้สมการการปัดเศษ 1D บริสุทธิ์โดยใช้วิธีการคู่ทั่วโลก แต่ถ้าคุณสนใจเกี่ยวกับประสิทธิภาพแล้ววิธีที่ดีที่สุดคือการใช้ downstream sweep ที่นำข้อมูลจากการไหลเข้าสู่ส่วนที่ไหลออกของโดเมน นั่นคือสิ่งที่เวลาก้าวแผนการทำในเวลา

คล้ายกับเวรกรรมโวล์ฟกังที่กล่าวถึงในโพสต์ของเขาเราสามารถเห็นเหตุผลว่าทำไมมิติเวลาจึงพิเศษจากมุมมองกาลอวกาศของ$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

กาลอวกาศมิติได้สินค้าภายในกำหนดเป็น ถ้าและมีสอง 1- ฟอร์มใน Minkowski spacetime: ,ถูกกำหนดในรูปแบบที่คล้ายกันสัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังการกำหนดผลิตภัณฑ์ภายใน (หรือมากกว่าที่จะบอกว่าเป็นตัวชี้วัด) คือการกำหนดความคิดของความเร็วแสงสัมบูรณ์เช่นนั้นจุดสองจุดที่แตกต่างกัน (เหตุการณ์) ในกาลอวกาศมีระยะห่างเป็นศูนย์ (เกิดขึ้นที่ "เวลาเดียวกัน" เหมือนกับที่เราสังเกตการเคลื่อนที่ของกาแลคซีหลายพันล้านปีแสงราวกับว่าพวกมันเคลื่อนไหว ตอนนี้) ถ้าพวกเขาอยู่ในกรวยแสงเดียวกัน$(3+1)$

อย่างที่คุณเห็นผลิตภัณฑ์ภายในนี้ไม่ได้เป็นค่าบวกแน่นอนเนื่องจากการมีมิติเวลาปรับขนาดด้วยความเร็วแสงดังนั้นการพูดอย่างสังหรณ์ใจเมื่อพูดถึงปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปริมาณการแพร่กระจายในกาลอวกาศเราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทใน 3 - ปริภูมิแบบยุคลิดมิติกับ a - มิติกาลอวกาศเพียงแค่คิดทฤษฎี 3 มิติรูปไข่ PDE และวิธีการเชิงตัวเลขที่สอดคล้องกันนั้นแตกต่างกันอย่างมากจากทฤษฎี PDE ซึ่งเกินความจริง $c$$(3+1)$

อาจจะเป็นหัวข้อ แต่ความแตกต่างที่สำคัญอีกอย่างของ space vs spacetime (elliptic vs hyperbolic) คือสมการ elliptic ส่วนใหญ่เป็นแบบจำลองดุลยภาพและ ellipticity ทำให้เรามีระเบียบ "ดี" ในขณะที่มีความไม่ต่อเนื่องในปัญหาการผ่อนชำระทุกชนิด ฯลฯ )

แก้ไข: ฉันไม่ทราบว่ามีบทความเฉพาะเกี่ยวกับความแตกต่างนอกเหนือจากการให้คำจำกัดความตามที่ฉันได้เรียนรู้มาก่อนสมการรูปไข่ทั่วไปเช่นสมการปัวซองหรือความยืดหยุ่นแบบจำลองปรากฏการณ์คงมีโซลูชั่น "ราบรื่น" ถ้าข้อมูลและ ขอบเขตของโดเมนที่น่าสนใจคือ "เรียบ" นี่เป็นเพราะรูปไข่ (หรือมากกว่าที่จะบอกว่าคุณสมบัติที่เป็นบวกแน่นอน) ของผู้ประกอบการที่แตกต่างกันการปกครองสมการประเภทนี้นำเราไปสู่วิธีการแบบ Galerkin ที่ใช้งานง่ายมาก โดยส่วน) องค์ประกอบ จำกัด ต่อเนื่องทั่วไปทำงานได้ดี สิ่งที่คล้ายกันนำไปใช้กับสมการพาราโบลาเช่นสมการความร้อนซึ่งเป็นหลักสมการรูปไข่เดินในเวลาที่มีคุณสมบัติ "ปรับให้เรียบ" ที่คล้ายกันมุมคมเริ่มต้นจะเรียบออกเมื่อเวลาผ่านไป

สำหรับปัญหาไฮเปอร์โบลิกซึ่งโดยปกติมาจากกฎหมายอนุรักษ์คือ "อนุรักษ์นิยม" หรือ "กระจาย" ตัวอย่างเช่นสมการ advection เชิงเส้นซึ่งอธิบายการไหลของปริมาณที่แน่นอนด้วยสนามเวกเตอร์รักษาว่าปริมาณที่เฉพาะเจาะจงนี้เป็นอย่างไรในขั้นต้นเพียงแค่มันย้ายเป็นระยะ ๆ ไปตามสนามเวกเตอร์นี้ความไม่ต่อเนื่องจะเผยแพร่ สมการชโรดิงเงอร์, สมการไฮเพอร์โบลิกอีกอันหนึ่ง, คือการกระจายตัว, มันคือการแพร่กระจายของปริมาณที่ซับซ้อน, สถานะเริ่มต้นที่ไม่แกว่งจะกลายเป็นแพ็กเก็ตคลื่นออสซิลเลชั่นที่แตกต่างกัน

ดังที่คุณกล่าวถึง "การก้าวข้ามเวลา" คุณสามารถคิดว่าปริมาณ "การไหล" ในเวลา "เขตข้อมูล" ด้วยความเร็วที่แน่นอนว่าเป็นเวรกรรมคล้ายกับสมการ advection เชิงเส้น BVP เราต้องกำหนดเงื่อนไขขอบเขตการไหลเข้าเท่านั้น คือปริมาณที่เป็นอย่างไรเมื่อไหลเข้าสู่โดเมนที่น่าสนใจและวิธีแก้ปัญหาจะบอกเราว่าปริมาณนั้นเป็นอย่างไรเมื่อไหลออกมาแนวคิดที่คล้ายกันมากกับทุกวิธีที่ใช้การเลื่อนเวลา การแก้สมการการพาความร้อนแบบสองมิติในอวกาศก็เหมือนกับการแก้ปัญหาการแพร่กระจายด้านเดียว 1D ในกาลอวกาศ สำหรับรูปแบบตัวเลขคุณสามารถ google เกี่ยวกับกาลเวลา FEM

ในขณะที่มีข้อยกเว้นบางอย่าง (เช่นวิธีการองค์ประกอบ จำกัด โดยสิ้นเชิง) การแยกส่วนทางโลกโดยทั่วไปหมายถึงการพึ่งพาลำดับที่ต่อเนื่องกันในการไหลของข้อมูล การพึ่งพานี้ จำกัด อัลกอริทึมแบบกึ่งแยก (BVP ในอวกาศ, IVP ในเวลา) เพื่อคำนวณวิธีการแก้ปัญหาย่อยตามลำดับ discretization นี้มักจะต้องการความเรียบง่ายและเนื่องจากมีนักวิเคราะห์อัลกอริทึมที่ได้รับการพัฒนามาอย่างดีเพื่อความแม่นยำที่สูงขึ้นทั้งในอวกาศและเวลา

เป็นไปได้ (และง่ายกว่า) ในการใช้ความแตกต่างอัน จำกัด ในมิติเชิงพื้นที่เช่นกัน แต่วิธีไฟไนต์อิลิเมนต์มีความยืดหยุ่นได้ง่ายขึ้นในประเภทของโดเมนตามความสนใจ (เช่นรูปทรงที่ไม่ใช่แบบปกติ) ทางเลือกที่ "ดี" ของการแยกเชิงพื้นที่มักขึ้นอยู่กับปัญหาเป็นอย่างมาก