ข้อโต้แย้งที่เข้าใจได้ง่ายว่าวิธี Runge – Kutta ปกติไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐาน SDE ได้?

วิธีการที่ไร้เดียงสาในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDEs) จะเป็น:

• ใช้วิธี Runge – Kutta หลายขั้นตอนปกติ
• ใช้การแยกส่วนที่ดีพอของกระบวนการ Wiener
• ทำแต่ละขั้นตอนของวิธี Runge – Kutta ซึ่งคล้ายกับ Euler – Maruyama

ตอนนี้สิ่งนี้ล้มเหลวในหลายระดับและฉันเข้าใจว่าทำไม อย่างไรก็ตามตอนนี้ฉันได้รับมอบหมายให้โน้มน้าวใจผู้คนถึงความจริงข้อนี้ซึ่งมีความรู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการของ Runge – Kutta และสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มเริ่มต้น ข้อโต้แย้งทั้งหมดที่ฉันรับรู้ไม่มีอะไรที่ฉันสามารถสื่อสารได้ดีในบริบทที่กำหนด ดังนั้นฉันกำลังมองหาข้อโต้แย้งที่เข้าใจง่ายว่าวิธีการดังกล่าวข้างต้นจะถึงวาระ

ลองทำสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม:

ต่อไปนี้เป็นข้อโต้แย้งที่แตกต่างกันเล็กน้อยซึ่งนำไปสู่ความเข้าใจที่เข้าใจง่ายว่าทำไมคณิตศาสตร์จึงต้องใช้วิธีการสั่งซื้อที่สูงกว่า ฉันจะพูดคุยในแง่ของระเบียบที่แข็งแกร่งซึ่งเป็นเช่นเดียวกับการพูดว่า "สำหรับการเคลื่อนไหว Brownian ที่กำหนด$W(t)$อินทิกรัลเชิงตัวเลขช่วยแก้วิถีโคจรได้ดีแค่ไหน "

ความสม่ำเสมอของสมการ

ก่อนอื่นวิธีการที่คุณเสนอไม่ได้คำนึงถึงความจริงที่ว่า $X_t$ไม่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่อง ที่จริงแล้วคุณสามารถใช้ผลลัพธ์ของ Rossler เพื่อแสดงให้เห็นว่าการขยายวิธี RK ปกติตามที่คุณแนะนำจะส่งผลให้วิธีการรวมกัน แต่พวกเขาจะมีคำสั่งที่แข็งแกร่ง 0.5 เท่านั้น เหตุผลก็เพราะพวกเขาได้รับการใช้แคลคูลัสด้วย$X_t$เป็น differentiable และมีชุดเทย์เลอร์ การเคลื่อนไหวของ Brownian นั้นไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้และจะมีความต่อเนื่องของ Holder$\alpha < 0.5$ เช่น

อย่างไรก็ตามเช่นเดียวกับในทฤษฎีการก่อกวนกระบวนการที่ไม่ปกติพอไม่สามารถขยายได้ในแง่ของซีรีส์เทย์เลอร์ แต่มีความเป็นปกติของผู้ถือ $\alpha$ พวกเขาสามารถขยายได้ในแง่ของซีรีส์ Puiseux พร้อมเงื่อนไข $\alpha$นั่นคือสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนมีการขยายความคิดแบบเทย์เลอร์ซึ่งขยายในแง่ของสิ่งที่ชอบ $\frac{1}{2}$สัญญาซื้อขายล่วงหน้า เช่นเดียวกับแคลคูลัสปกติเทอมแรกคือ "เทอมเชิงเส้น" คือการเปลี่ยนแปลง$dt$ ถึง $\Delta t$ และ $dW_t$ ถึง $N(0,dt)$และคุณได้สิ่งที่ถูกต้อง นี่คือสาเหตุที่วิธีการต่าง ๆ รวมถึงสิ่งต่าง ๆ เช่นออยเลอร์ - มารุยามาบรรจบกันด้วยคำสั่งที่แข็งแกร่ง 0.5: พวกเขาได้รับเทอมแรกในซีรี่ส์เทย์เลอร์ที่ถูกต้อง อย่างไรก็ตามเงื่อนไขการสั่งซื้อที่สูงขึ้นจะต้องมีการแก้ไขสำหรับความจริงที่ว่า$X_t$ ไม่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่องซึ่งเป็นสาเหตุที่วิธีการปกติไม่สามารถทำได้

ความสัมพันธ์ทันทีและอินเทอร์รัปต์ซ้ำ

นั่นเป็นคำอธิบายแบบฮิวริสติกอย่างรวดเร็ว แต่มีมากกว่านั้น ลองดูรายละเอียดอื่น ๆ ซีรี่ส์เทย์เลอร์ไม่ได้เป็นเพียงการขยายตัวในแง่ของตราสารอนุพันธ์ แต่ยังสามารถคิดได้ว่าเป็นคำสั่งซื้อที่มีจำนวนสูงกว่าเพื่อรวมเข้าด้วยกัน$X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$กำลังผสานรวมครั้งเดียว แต่ถ้าคุณเพิ่ม$dt^2$ คำศัพท์เพื่อให้ได้หน่วยที่ถูกต้องคุณต้องทำอินทิกรัลสองครั้ง $dt^2$ เป็นเรื่องง่ายที่จะรวมสองครั้ง แต่สิ่งที่เป็น $dW_t^i dW_t^j$? สิ่งเหล่านี้เป็นความสัมพันธ์แบบฉับพลันระหว่างการเคลื่อนไหวของ Brownian คุณจำเป็นต้องรู้สิ่งนี้เพื่อคำนวณอินทิกรัลคู่ หากคุณดูเฉพาะค่าเฉลี่ยคุณสามารถลุ้นสิ่งนี้ได้ แต่ในวิถีใดมีความสัมพันธ์ระหว่างการเคลื่อนไหว Brownian ที่แตกต่างกันของระบบของสมการเชิงอนุพันธ์ สมมติว่าไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างการเคลื่อนไหวของบราวเนียนเป็นอีกวิธีในการอธิบายลักษณะการขยายของ Maruyama ของวิธีการที่กำหนดไว้ล่วงหน้า แต่เพื่อให้ได้คำต่อไปในซีรีส์ (1.0 เทอม) คุณต้องทำให้ถูกต้อง การแก้ไขของ Milstein นั้นเป็นการเพิ่มคำที่เกี่ยวข้องกันอย่างแม่นยำ เมื่อเสียงเป็นเส้นทแยงมุมนี่เทียบเท่ากับการทำความเข้าใจว่าไม่มีความสัมพันธ์ยกเว้นกับตัวเอง แต่ความสัมพันธ์กับตัวตนของคนนั้นเป็นเพียงความแปรปรวนซึ่งเป็น$dt$และจะต้องมีการแก้ไข $dW_t^2$ VS $dt$เช่น $dW^2 - dt$. เมื่อไม่มีเสียงในแนวทแยงอินทิกรัลสองตัวเหล่านี้จะต้องประมาณค่าเพื่อให้สหสัมพันธ์ของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนนั้นถูกนำมาพิจารณาในทันที (เนื่องจากไม่มีวิธีการวิเคราะห์แม้แต่อินทิกรัลคู่)

ผลเฉลี่ยของการแพร่กระจาย

แต่สิ่งนี้นำเราไปสู่วิธีคิดเกี่ยวกับปัญหาอีกวิธีหนึ่ง กำลังคิดที่จะขยายตัวในแง่ของช่วงเวลาในแง่ของการเรียนรู้แบบฮิวริสติกในคำสั่งแรกคำสั่งที่เข้มแข็ง 1.0 หรือ$\mathcal{O}(\Delta t)$คำศัพท์จะต้องได้รับความเคลื่อนไหวเฉลี่ยที่ถูกต้องใช่ไหม นี่คือคำถาม: อนุพันธ์ของคืออะไร$g$ภายในเวลาที่กำหนด? คำตอบที่ง่ายที่สุดคือการกำหนดอนุพันธ์ตามวิธีปกติ:

แต่นี่ไม่ถูกต้องจริงเมื่อวาง $g$ในบริบทของ SDE ถ้าเราคิดถึงอนุพันธ์ของ$g$ ในแง่ของการเปลี่ยนแปลงเท่าใด $X_t$มันไม่ได้เป็นค่าเฉลี่ยที่ชี้ไปในทิศทางเดียวกันเสมอไปเนื่องจากมันจะคูณด้วยปัจจัยสุ่มนี้เสมอ $dW_t$. คำถามคืออะไรขนาดเฉลี่ยของสิ่งนี้$dW_t$? การแพร่มีการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยในระดับของ$\sqrt{\Delta t}$ดังนั้นในความเป็นจริงผลกระทบนั้น $g(t,X_t)$ มีมากขึ้นเช่น

คุณสามารถแสดงให้เห็นอย่างจริงจังว่าอนุพันธ์เชิงตัวเลขควรเป็นสิ่งนี้ด้วย $X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ เป็น "ตัวทำนายล่วงหน้าในเวลา"

แต่โดยสังหรณ์ใจนี่เป็นเพียงการทำความเข้าใจผลเฉลี่ยที่ $g$ มีเส้นทางการเคลื่อนที่ของ $X_t$ประมาณ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$. ในเมธอด Runge-Kutta ซึ่งเป็นขั้นตอนภายในเวลา$c_i$ ควรจะเป็นการประมาณค่าของ $X_{t + c_i\Delta t}$แต่ถึงกระนั้นจากการโต้เถียงแบบฮิวริสติกทางกายภาพอย่างรวดเร็วเกี่ยวกับการแพร่กระจายเราเห็นว่าการขยายของเมธอด Runge-Kutta อย่างง่ายนั้นผิดโดยเฉลี่ยแล้ว: มันผิดโดยเกี่ยวกับ $g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$ซึ่งเป็นอีกวิธีหนึ่งที่จะอธิบายได้ว่าทำไมมันถึงอยู่ในลำดับที่แข็งแกร่งที่สุด 0.5 (มันน่าแปลกใจที่วิธีการยังคงใช้งานได้! แต่คุณสามารถระบุคุณลักษณะนี้ได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนขั้นตอนในวิธีการ RK ต้องเป็น 1 ออก). ที่น่าสนใจอาร์กิวเมนต์ฮิวริสติกนี้ค่อนข้างลึกเนื่องจากวิธี Stochastic Runge-Kutta ที่สูงกว่าเช่น Rossler มีการแก้ไขที่เกี่ยวข้องกับ$g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$.

ข้อสรุป

สิ่งเหล่านี้คือวิธีการแก้ปัญหาด้วยวิธีต่างกัน 3 วิธีเพื่อให้เข้าใจว่าทำไมคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นจึงต้องมีแคลคูลัสสุ่ม คำสั่งซื้อที่สูงขึ้นจะต้องคำนึงถึงความจริงที่ว่าผู้ถือสม่ำเสมอคือ 1/2 ดังนั้นจึงมีข้อกำหนดเพิ่มเติมในซีรีส์เทย์เลอร์พวกเขาจะต้องคำนึงถึงความสัมพันธ์แบบทันทีทันใดและอย่างน้อยพวกเขาต้องคำนึงถึงผลกระทบโดยเฉลี่ยของระยะแพร่ . มิฉะนั้นพวกเขาจะถึงวาระที่จะไม่ถูกต้อง$\mathcal{O}(\Delta t)$และแทนที่จะตอบสนอง "การประมาณเชิงเส้น" ของคำแรกและรับเท่านั้น $\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$.

แน่นอนในบางกรณีมีวิธีการหาภาพรวมที่เหมาะสมที่ให้วิธีการสั่งซื้อที่สูงขึ้น แต่ฉันจะปล่อยให้มันเป็นหัวข้อที่ห้อยต่องแต่งเพราะนั่นเป็นจุดหนึ่งของกระดาษที่ฉันจะส่งเร็ว ๆ นี้ หวังว่านี่จะช่วยได้