วิธีการคำนวณมุมที่มีเสถียรภาพของตัวเลขระหว่างเวกเตอร์

เมื่อใช้สูตรคลาสสิกสำหรับมุมระหว่างสองเวกเตอร์:

α = \arccos \frac{v_{1} \cdot v_{2}}{‖ v_{1} ‖ ‖ v_{2} ‖}

$\alpha = \arccos \frac{\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2}}{\|\mathbf{v_1}\| \|\mathbf{v_2}\|}$

หนึ่งพบว่าสำหรับมุมเล็ก / เฉียบพลันมากมีการสูญเสียความแม่นยำและผลลัพธ์ไม่ถูกต้อง ดังที่อธิบายไว้ในคำตอบของ Stack Overflow คำตอบเดียวคือใช้อาร์กแทนเจนต์แทน:

α = \arctan 2 (‖ v_{1} \times v_{2} ‖, v_{1} \cdot v_{2})

$\alpha = \arctan2 \left(\|\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}\|, \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} \right)$

และสิ่งนี้ย่อมให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่าสิ่งนี้จะให้ผลที่ไม่ดีกับมุมที่อยู่ใกล้กับ $\pi / 2$ หรือไม่ เป็นอย่างนั้นเหรอ? ถ้าเป็นเช่นนั้นมีสูตรใดที่จะคำนวณมุมอย่างแม่นยำโดยไม่ตรวจสอบความอดทนภายในifสาขาหรือไม่?

algorithms precision numerical-limitations

— astrojuanlu
แหล่งที่มา

สิ่งนี้จะขึ้นอยู่กับการใช้งานฟังก์ชั่นแทนเจนต์ของพารามิเตอร์สองตัว รุ่นที่ช้าและเสถียรจะสลับอย่างมีเงื่อนไขระหว่างการทำงานกับ x / y และ y / x เพื่อรักษาความแม่นยำในขณะที่รุ่นที่รวดเร็วเพียงติดสิ่งต่าง ๆ ใน Quadrant ที่เหมาะสมและดังนั้นจึงไม่แม่นยำกว่ารุ่นพารามิเตอร์เดียว

— origimbo

คุณควรกำหนด "การสูญเสียของความแม่นยำ": คิดว่าคำตอบที่ถูกต้องคือ

α

$\alpha$ และคุณได้รับแทน

α + Δ

$\alpha + \Delta$ \ คุณต้องการ

Δ ≪ α

$\Delta \ll \alpha$ หรือ

Δ ≪ π

$\Delta \ll \pi$ เพียงพอหรือไม่

— Stefano M

ในกรณีนี้คำตอบที่ถูกคือและฉันได้ทั้ง1

α

$\alpha$

α \cdot 10^{8}

$\alpha \cdot 10^8$

≪ 1

$\ll 1$

— astrojuanlu

คำตอบ:

( ฉันได้ทดสอบวิธีการนี้มาก่อนและฉันจำได้ว่าทำงานได้อย่างถูกต้อง แต่ฉันไม่ได้ทดสอบวิธีนี้โดยเฉพาะสำหรับคำถามนี้ )

เท่าที่ฉันจะบอกได้ทั้ง และสามารถทนทุกข์ทรมานจากการยกเลิกหายนะหากพวกเขาเกือบขนาน / ตั้งฉากกัน - atan2 ไม่สามารถให้ความแม่นยำที่ดีถ้าอินพุตปิด $\|\mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2\|$ $\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2$

เริ่มต้นโดยปรับโครงสร้างปัญหาใหม่เพื่อหามุมของสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน,และ(สิ่งเหล่านี้คำนวณได้อย่างแม่นยำในการคำนวณเลขทศนิยม) มีสูตรที่เป็นที่รู้จักกันดีของนกกระสาเนื่องจาก Kahan (การคำนวณพื้นที่และมุมของสามเหลี่ยมคล้ายเข็ม ) ซึ่งช่วยให้คุณคำนวณพื้นที่และมุม (ระหว่างและ ) ของรูปสามเหลี่ยมที่ระบุโดยความยาวด้าน และทำอย่างเสถียรเชิงตัวเลข เนื่องจากการลดลงของปัญหาย่อยนี้มีความถูกต้องเช่นกันวิธีการนี้ควรใช้กับอินพุตที่กำหนดเอง $a=|\mathbf{v}_1|$ $b=|\mathbf{v}_2|$ $c=|\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2|$ $a$ $b$

การอ้างถึงจากกระดาษนั้น (ดูหน้า 3) โดยสมมติว่า , วงเล็บทั้งหมดที่นี่ถูกวางไว้อย่างระมัดระวังและพวกมันสำคัญ; หากคุณพบว่าตัวเองกำลังหาสแควร์รูทของจำนวนลบความยาวด้านอินพุตนั้นไม่ใช่ความยาวด้านของสามเหลี่ยม $a\geq b$

μ = {\begin{cases} c - (a - b), & if b \geq c \geq 0, \\ b - (a - c), & if c > b \geq 0, \\ invalid triangle, & otherwise \end{cases}

$\mu = \begin{cases} c-(a-b),&\text{if }b\geq c\geq 0,\\ b-(a-c),&\text{if }c>b\geq 0,\\ \text{invalid triangle},&\text{otherwise} \end{cases}$

a n g l e = 2 \arctan (\sqrt{\frac{((a - b) + c) μ}{(a + (b + c)) ((a - c) + b)}})

$\mathrm{angle} = 2\arctan\left( \sqrt{\frac{((a-b)+c)\mu}{(a+(b+c))((a-c)+b)}} \right)$

มีคำอธิบายวิธีการทำงานรวมถึงตัวอย่างของค่าที่สูตรอื่น ๆ ล้มเหลวในกระดาษของ Kahan สูตรแรกของคุณสำหรับคือในหน้า 4 $\alpha$ $C''$

เหตุผลหลักที่ฉันแนะนำสูตรของ Kahan Heron ก็คือเพราะมันเป็นสูตรดั้งเดิมที่ดีมาก - คำถามเรขาคณิตเชิงระนาบจำนวนมากอาจลดลงเพื่อหาพื้นที่ / มุมของสามเหลี่ยมโดยพลการดังนั้นถ้าคุณสามารถลดปัญหาของคุณได้นั่นคือ เป็นสูตรที่เสถียรดีและไม่จำเป็นต้องคิดอะไรขึ้นมาเอง

แก้ไขความคิดเห็นของสเตฟาโนฉันทำพล็อตข้อผิดพลาดแบบสัมพัทธ์สำหรับ , ( รหัส ) สองบรรทัดคือข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สำหรับและ ,จะไปตามแกนนอน ดูเหมือนว่ามันใช้งานได้ $v_1=(1,0)$ $v_2=(\cos\theta, \sin\theta)$ $\theta=\epsilon$ $\theta=\pi/2-\epsilon$ $\epsilon$

— คิริลล์
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับลิงค์และคำตอบ! น่าเสียดายที่สูตรที่สองที่ฉันเขียนไม่ปรากฏในบทความ ในทางกลับกันวิธีนี้อาจมีความซับซ้อนเล็กน้อยเนื่องจากต้องใช้การฉายภาพในแบบ 2D

— astrojuanlu

@astrojuanlu ไม่มีการฉายเป็น 2d ตรงนี้: ไม่ว่าเวกเตอร์ 3 มิติสองตัวใดก็ตามพวกมันนิยามสามเหลี่ยม (ระนาบ) เดี่ยวระหว่างพวกมัน - คุณแค่ต้องรู้ความยาวข้างของมัน

— คิริลล์

คุณพูดถูกแล้วความคิดเห็นของฉันไม่สมเหตุสมผล ฉันคิดในพิกัดแทนความยาว ขอบคุณอีกครั้ง!

— astrojuanlu

@astrojuanlu อีกสิ่งหนึ่งที่ฉันต้องการทราบ: ดูเหมือนว่ามีการพิสูจน์อย่างเป็นทางการว่าสูตรพื้นที่มีความถูกต้องในวิธีการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม: Revisit อย่างเป็นทางการ Sylvie Boldoใช้ Flocq

— คิริลล์

คำตอบที่ดี แต่ฉันโต้แย้งว่าคุณสามารถคำนวณในเลขทศนิยมได้อย่างถูกต้อง ในความเป็นจริงถ้าการยกเลิกการจองแล้วภัยพิบัติที่เกิดขึ้นในการคำนวณองค์ประกอบของ_2)

c

$c$

c < ϵ \cdot min (a, b)

$c < \epsilon \cdot \min(a,b)$

(v_{1} - v_{2})

$(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)$

— Stefano M

คำตอบที่มีประสิทธิภาพสำหรับคำถามนี้คือไม่น่าประหลาดใจเกินไปในบันทึก อื่นโดย Velvel Kahan :

α = 2 \arctan (‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} + \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖, ‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} - \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖)

$\alpha=2\arctan\left(\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}+\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|,\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}-\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|\right)$

โดยที่ฉันใช้เป็นมุมที่สร้างโดยกับแกนนอน (คุณอาจต้องเรียงลำดับอาร์กิวเมนต์ในบางภาษา) $\arctan(x,y)$ $(x,y)$

(ฉันให้การสาธิตMathematicaสูตร Kahan ที่นี่ )

— JM
แหล่งที่มา

คุณหมายถึง ?

\arctan 2

$\arctan2$

— astrojuanlu

ฉันคุ้นเคยกับการวาดอาร์กแทนเจนต์สองอาร์กิวเมนต์ในชื่อใช่ ในภาษาเช่น FORTRAN เทียบเท่าจะเป็น

\arctan (x, y)

$\arctan(x,y)$ ATAN2(Y, X)

— JM