การแก้ระบบเชิงเส้นหนาแน่นขนาดใหญ่?

มีความหวังในการแก้ระบบเชิงเส้นต่อไปนี้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยวิธีการวนซ้ำหรือไม่?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

กับ

$A=(\Delta - K)$โดยที่$\Delta$เป็นเมทริกซ์เบาบางมากที่มีเส้นทแยงมุมสองสามอันเกิดจาก discretization ของ Laplace Operator บนเส้นทแยงมุมหลักมี$-6$และมีเส้นทแยงมุมอื่นอีก$6$เส้นที่มี$1$เส้น

$K$เป็นเมทริกซ์เต็มรูปแบบ$\mathbb{R}^{n \times n}$ที่ประกอบไปด้วย

การแก้ทำงานได้ดีกับวิธีการวนซ้ำเช่น Gauss-Seidel เพราะมันเป็นเมทริกซ์ที่โดดเด่นแบบทแยงมุม ฉันสงสัยว่าปัญหาA = ( Δ - K )นั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาอย่างมีประสิทธิภาพสำหรับnจำนวนมากแต่มีกลอุบายใดที่จะแก้ไขได้โดยใช้โครงสร้างของK ?$A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

แก้ไข: จะทำอะไรเช่น

// แก้ปัญหาสำหรับ x k + 1ด้วย Gauss-Seidel$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$$x^{k+1}$

ลู่เข้าหาทางออกที่ถูกต้อง? ฉันอ่านว่าวิธีการแยกดังกล่าวมาบรรจบกันถ้าโดยที่ρเป็นบรรทัดฐานของสเปกตรัม ฉันคำนวณค่าลักษณะเฉพาะด้วยตนเองของΔ - 1 Kสำหรับค่าขนาดเล็กที่แตกต่างกันของnและพวกมันทั้งหมดเป็นศูนย์ยกเว้นค่าที่มีค่าลบสูงมาก (ประมาณ ~ 500 สำหรับn = 256 ) ดังนั้นฉันเดาว่าจะไม่ทำงาน$\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

แก้ไข: ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ$\Delta$ :

เป็นสมมาตรและเป็นลบที่ชัดเจนและโดดเด่นในแนวทแยงมุม$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$

มันถูกสร้างขึ้นด้วยวิธีดังต่อไปนี้ใน matlab

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

มีสองตัวเลือกซึ่งถ้าคุณใช้โครงสร้างข้อมูลที่เหมาะสมสามารถแก้ปัญหาด้วยบนแล็ปท็อปและ n ≈ 10 12ในซูเปอร์คอมพิวเตอร์ โปรดทราบว่าเพื่อประสิทธิภาพที่คุณควรใช้ multigrid ที่จะแก้ปัญหาด้วยΔ ค่าใช้จ่ายในกรณีที่ทั้งสองจะเป็นปัจจัยที่มีขนาดเล็กมีราคาแพงกว่าเพียงแค่การแก้กับΔ ทั้งสองวิธีมีความเท่าเทียมกันผ่านทางอาร์กิวเมนต์เสริม Schur แต่ฉันอธิบายแยกต่างหากเพราะการใช้งานนั้นแตกต่างกัน$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• ใช้ระบบเป้น

$$\newcommand\ee{\mathbf{e}} M = \begin{pmatrix} \Delta & \ee \\ \ee^T & 1 \end{pmatrix}$$

โดยที่คือเวกเตอร์คอลัมน์ที่ประกอบด้วยค่าทั้งหมดและแก้ไขระบบ$\ee$

$$M \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{b} \\ 0 \end{pmatrix}$$

ใช้ตัวแก้ซ้ำหรือโดยตรง

• ใช้วิธี Krylov และใช้เมทริกซ์เป็นΔ - e e T (เช่นเมทริกซ์กระจัดกระจายบวกการแก้ไขอันดับ 1 ใช้ preconditioner ที่มีอยู่ของคุณP $A$$\Delta - \ee \ee^T$หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณต้องการที่จะใช้โดยตรงแก้ด้วยΔอัปเดตด้วยสูตรเชอร์แมนมอร์ริสัน$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$