อะไรคือเกณฑ์ในการเลือกระหว่างความแตกต่างแน่นอนและองค์ประกอบ จำกัด

46

ฉันเคยคิดถึงความแตกต่าง จำกัด เป็นกรณีพิเศษขององค์ประกอบ จำกัด บนตารางที่มีข้อ จำกัด มาก ดังนั้นเงื่อนไขในการเลือกระหว่างวิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนเชียล (FDM) และวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (FEM) เป็นวิธีการเชิงตัวเลขคืออะไร?

ที่ด้านข้างของวิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนเชียล (FDM) เราอาจนับได้ว่าพวกมันมีแนวคิดที่ง่ายและง่ายต่อการใช้งานมากกว่าวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (FEM) FEM มีประโยชน์ในการยืดหยุ่นเช่นกริดอาจไม่สม่ำเสมอและโดเมนอาจมีรูปร่างตามอำเภอใจ

ตัวอย่างเดียวที่ฉันรู้ว่า FDM กลายเป็น FEM ที่ดีกว่าอยู่ใน Celia, Bouloutas, Zarbaซึ่งประโยชน์เกิดจากวิธีการ FD โดยใช้การแยกประเภทที่แตกต่างกันของอนุพันธ์เวลาซึ่งสามารถแก้ไขสำหรับวิธีไฟไนต์อิลิเมนต์ได้ .

pde finite-element

— shuhalo
แหล่งที่มา

44

มันเป็นไปได้ที่จะเขียนวิธีการแตกต่าง จำกัด แน่นอนที่สุดในขณะที่ Petrov-Galerkin วิธีไฟไนต์อิลิเมนต์ที่มีทางเลือกของการสร้างใหม่และการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและวิธีการไฟไนต์อิลิเมนต์ส่วนใหญ่ยังสามารถแสดงได้ ดังนั้นเราควรเลือกวิธีการตามกรอบการวิเคราะห์ที่เราต้องการใช้ซึ่งเป็นคำศัพท์ที่เราชอบระบบใดที่เราสามารถขยายได้และเราต้องการโครงสร้างซอฟต์แวร์อย่างไร ภาพรวมต่อไปนี้เป็นจริงในรูปแบบส่วนใหญ่ในการใช้งานจริง แต่หลายจุดสามารถหลีกเลี่ยงได้

ความแตกต่างอัน จำกัด

ข้อดี

การใช้พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่มีประสิทธิภาพ
อัตราส่วนความเป็นอิสระและการอนุรักษ์ท้องถิ่นสำหรับรูปแบบบางอย่าง (เช่น MAC สำหรับการไหลที่ไม่บีบอัด)
วิธีการไม่เชิงเส้นที่แข็งแกร่งสำหรับการขนส่ง (เช่น ENO / WENO)
M-matrix สำหรับปัญหาบางอย่าง
หลักการสูงสุดไม่ต่อเนื่องสำหรับปัญหาบางอย่าง (เช่นความแตกต่าง จำกัด เลียนแบบ)
เมทริกซ์ของมวล (ทแยง) ปกติในแนวทแยง
ค่าที่ไม่ได้รับอนุญาตให้ตกค้างที่สำคัญคือไม่เชิงเส้นแบบหลายจุด (FAS)
เซลล์ Vanka smoothers ให้สมูทเตอร์ฟรีที่มีประสิทธิภาพสำหรับการไหลแบบไม่บีบอัด

จุดด้อย

ยากยิ่งขึ้นที่จะใช้ "ฟิสิกส์"
กริดที่โงนเงนบางครั้งค่อนข้างเป็นเทคนิค
สูงกว่าลำดับที่สองสำหรับกริดที่ไม่มีโครงสร้างเป็นเรื่องยาก
ไม่มีมุมฉากของ Galerkin ดังนั้นการบรรจบกันอาจพิสูจน์ได้ยากกว่า
ไม่ใช่วิธี Galerkin ดังนั้น discretization และ adjoints จึงไม่เปลี่ยน (เกี่ยวข้องกับการเพิ่มประสิทธิภาพและปัญหาผกผัน)
ปัญหาความต่อเนื่องในการปรับตัวเองทำให้เกิดเมทริกซ์ที่ไม่สมมาตร
การแก้ปัญหานั้นถูกกำหนดไว้เฉพาะจุดเท่านั้นดังนั้นการสร้างใหม่ในสถานที่ตามอำเภอใจจึงไม่ได้กำหนดไว้โดยเฉพาะ
เงื่อนไขขอบเขตมักจะซับซ้อนในการใช้
ค่าสัมประสิทธิ์ไม่ต่อเนื่องมักจะทำให้วิธีการสั่งซื้อครั้งแรก
ลายฉลุเติบโตถ้าฟิสิกส์รวมถึง "ข้อตกลงข้าม"

องค์ประกอบ จำกัด

ข้อดี

Galerkin orthogonality (การแก้ปัญหาแบบแยกกันเพื่อบีบบังคับปัญหาอยู่ภายในค่าคงที่ของทางออกที่ดีที่สุดในพื้นที่)
ความยืดหยุ่นทางเรขาคณิตอย่างง่าย
Galerkin ไม่ต่อเนื่องเสนออัลกอริทึมการขนส่งที่มีประสิทธิภาพคำสั่งโดยพลการบนกริดที่ไม่มีโครงสร้าง
ความไม่เท่าเทียมกันของเอนโทรปีในระดับเซลล์รับประกันความคงตัวของเป็นอิสระจากตาข่ายมิติลำดับความถูกต้องและการปรากฏตัวของการแก้ปัญหาที่ไม่ต่อเนื่อง $L^2$
ง่ายต่อการใช้เงื่อนไขขอบเขต
สามารถเลือกคำแถลงการอนุรักษ์โดยเลือกพื้นที่ทดสอบ
discretization และ adjoints เดินทาง (สำหรับวิธี Galerkin)
รากฐานที่สง่างามในการวิเคราะห์การทำงาน
ในระดับสูงเมล็ดในท้องถิ่นสามารถใช้ประโยชน์จากโครงสร้างผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ที่ขาดหายไปจาก FD
การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Lobatto สามารถทำให้วิธีการประหยัดพลังงาน (สมมติว่าเป็นผู้รวบรวมเวลาแบบสมมาตร)
ความแม่นยำในการสั่งซื้อสูงถึงแม้จะมีค่าสัมประสิทธิ์ไม่ต่อเนื่องตราบใดที่คุณสามารถจัดแนวกับขอบเขต
ค่าสัมประสิทธิ์ไม่ต่อเนื่องภายในองค์ประกอบสามารถรองรับกับ XFEM
ง่ายต่อการจัดการหลายเงื่อนไข inf-sup

จุดด้อย

องค์ประกอบหลายอย่างมีปัญหาในอัตราส่วนภาพสูง
FEM อย่างต่อเนื่องมีปัญหากับการขนส่ง (SUPG จะกระจายและแกว่ง)
DG มักจะมีองศาอิสระมากขึ้นสำหรับความแม่นยำเดียวกัน (แม้ว่า HDG จะดีกว่ามาก)
FEM อย่างต่อเนื่องไม่ได้ทำให้เกิดปัญหาเกี่ยวกับปม
มักจะไม่ใช่ศูนย์ในเมทริกซ์ที่ประกอบ
ต้องเลือกระหว่างมวลเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน (คุณสมบัติที่ดีบางอย่าง แต่มีค่าผกผันเต็มรูปแบบดังนั้นจึงจำเป็นต้องแก้ปัญหาโดยปริยายต่อขั้นตอนเวลา) และเมทริกซ์มวลก้อน

— เจดบราวน์
แหล่งที่มา

3

นี่เป็นลักษณะทั่วไปที่ดีแม้ว่าจะมีตัวอย่างสำหรับเกือบทุกจุด

— David Ketcheson

จุดดีฉันได้เพิ่มคำนำสำหรับเอฟเฟกต์นั้น

— Jed Brown

3

ฉันไม่รู้ตัวย่อ HDG สำหรับคนอื่นที่สงสัยเกี่ยวกับเรื่องนี้มันหมายถึง "Hybridizable Discontinuous Galerkin"

— Akid

21

คำถามนี้กว้างเกินไปที่จะมีคำตอบที่มีความหมาย คนส่วนใหญ่ที่ตอบคำถามจะคุ้นเคยกับการแยกย่อย FD และ FE บางประเภทเท่านั้นที่อาจถูกนำมาใช้ โปรดทราบว่าทั้ง FD และ FE

สามารถนำมาใช้กับโครงสร้างหรือไม่มีโครงสร้างกริด (ดูบทความนี้เพียงหนึ่งตัวอย่างของวิธี FD บนตารางที่ไม่มีโครงสร้าง)
สามารถขยายไปยังลำดับความแม่นยำสูงโดยพลการ (ในหลายวิธี!)
สามารถใช้เพื่อแยกส่วนในอวกาศและ / หรือในเวลาอาจรวมกัน
ใช้ฟังก์ชั่นพื้นฐานท้องถิ่นหรือทั่วโลก (หลังนำไปสู่วิธีการทางสเปกตรัมของทั้งประเภท FD และ FE)
สามารถขึ้นอยู่กับพื้นที่ฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่อง
สามารถเป็นเชิงพื้นที่อย่างชัดเจนหรือโดยปริยาย
สามารถชั่วคราวอย่างชัดเจนหรือโดยนัย

คุณได้รับความคิด แน่นอนในระเบียบวินัยโดยเฉพาะวิธีการ FD และ FE ที่คนทั่วไปใช้และใช้อาจมีคุณสมบัติที่แตกต่างกันมาก แต่นี่มักจะไม่ได้เกิดจากข้อ จำกัด โดยธรรมชาติของทั้งสองวิธีการแยกส่วน

เกี่ยวกับรูปแบบ FD ของคำสั่งสูงโดยพลการ: ค่าสัมประสิทธิ์ของลำดับ FD สูงสามารถสร้างขึ้นโดยอัตโนมัติสำหรับคำสั่งใด ๆ ดูหนังสือ LeVeque ของตัวอย่างเช่น วิธีการจัดวางสเปกตรัมซึ่งเป็นวิธีการ FD จะมาบรรจบกันได้เร็วกว่าพลังของระยะห่างตาข่ายใด ๆ ดูหนังสือ Trefethen ของตัวอย่างเช่น

— เดวิดเคตเชสัน
แหล่งที่มา

น่าสนใจ คุณมีเอกสารบางอย่างเกี่ยวกับแผนการ FD ลำดับสูงหรือไม่? ฉันคิดว่าจะต้องสร้าง stencil ของคำสั่งที่สูงขึ้นสำหรับแต่ละคำสั่งด้วยตนเอง

— OndČejČertík

ฉันเพิ่มรายละเอียดเพิ่มเติมด้านบนเพื่อตอบคำถามของคุณ

— David Ketcheson

10

ข้อดีขององค์ประกอบ จำกัด (FE):

วิธีการแปรปรวน (เช่นพลังงานลดลงเสมอเมื่อมีการเพิ่ม "p" สำหรับสมการชโรดิงเงอร์ซึ่งไม่เป็นความจริงสำหรับ FD)
แม่นยำที่คำสั่งซื้อสูง (p = อีก 50)
เมื่อนำมาใช้แล้วมันเป็นเรื่องง่ายที่จะทำการบรรจบกันอย่างเป็นระบบทั้งใน "p" และ "h" (ตรงข้ามกับการมีรูปแบบ FD พิเศษสำหรับแต่ละคำสั่งซื้อ)

ข้อดีของผลต่างอันตะ จำกัด (FD):

ใช้งานง่ายขึ้นสำหรับคำสั่งซื้อที่ลดลง
อาจเร็วกว่า FE เพื่อลดความแม่นยำ

บางครั้งผู้คนพูดว่า "ความแตกต่างที่แน่นอน" หมายถึงผู้รวมระบบสำหรับ ODE เช่น Runge-Kutta หรือวิธี Adams ในกรณีนั้นมีข้อดีอีกอย่างของ FD:

เป็นไปได้ในการแก้ปัญหา ODE ที่ไม่เชิงเส้นโดยตรง

ในขณะที่ FE ต้องการการวนซ้ำแบบไม่เชิงเส้นเช่นวิธีของนิวตัน

— OndřejČertík
แหล่งที่มา

10

หลายคำตอบที่ดีได้กล่าวถึงข้อดีของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ที่มีความยืดหยุ่นและทรงพลังที่นี่ฉันจะให้ข้อได้เปรียบอีกอย่างหนึ่งจาก FEM จากอวกาศ Sobolev และมุมเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือความเป็นไปได้ของพื้นที่ จำกัด ขององค์ประกอบ ช่องว่าง Sobolev ซึ่งเป็นคำตอบที่แท้จริง

ตัวอย่างเช่นองค์ประกอบใบหน้า Raviart-Thomas สำหรับความยืดหยุ่นของระนาบและวิธีผสมสำหรับการแพร่ องค์ประกอบขอบNédélecสำหรับแม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ

โดยทั่วไปแล้วคำตอบของ PDE ซึ่งเป็นอนุพันธ์อยู่ใน "พลังงาน -integrable" พื้นที่: โดยที่เป็นอนุพันธ์ภายนอกและเราสามารถสร้างเดอแรมแรมโฮโมโลจี้รอบ ๆ พื้นที่นี้ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถสร้างลำดับเดอแรมที่แน่นอนดังต่อไปนี้ในพื้นที่ 3D: $k$ $L^2$

H Λ^{k} = {ω \in Λ^{k} : ω \in L^{2} (Λ^{k}), d ω \in L^{2} (Λ^{k})}

$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$

d

$\mathrm{d}$

R^{3} \overset{i d}{\to} H (g r a d, Ω) \overset{\nabla}{\to} H (c u r l, Ω) \overset{\nabla \times}{\to} H (d i v, Ω) \overset{\nabla \cdot}{\to} L^{2} (Ω)

$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$

ช่วงของโอเปอเรเตอร์คือสเปซว่างของโอเปอเรเตอร์ถัดไปและมีคุณสมบัติที่ดีมากมายเกี่ยวกับเรื่องนี้ถ้าเราสามารถสร้างพื้นที่องค์ประกอบ จำกัด เพื่อสืบทอดลำดับเดอแรมนี้แน่นอนแล้ววิธี Galerkin ตามพื้นที่องค์ประกอบ จำกัด นี้จะ มีความเสถียรและจะมาบรรจบกับทางออกที่แท้จริง และเราสามารถได้ค่าความเสถียรและการประมาณค่าของตัวดำเนินการแก้ไขโดยไดอะแกรมการเดินทางจากลำดับเดอแรมรวมทั้งเราสามารถสร้างการประมาณข้อผิดพลาดหลังและกระบวนการกลั่นตาข่ายแบบปรับตัวตามลำดับนี้

เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้โปรดดูบทความของดักลาสอาร์โนลด์ใน Acta Numerica: " แคลคูลัสภายนอกองค์ประกอบ จำกัด เทคนิค homological และแอพพลิเคชั่น " และสไลด์แนะนำแนวคิดสั้น ๆ

— Shuhao Cao
แหล่งที่มา

1

มากขึ้นหรือน้อยลงในสิ่งเดียวกันสามารถทำได้โดยใช้วิธีการเลียนแบบ FD ที่เรียกว่า

— David Ketcheson

@DavidKetcheson สวัสดีเดวิดรู้ดีว่าเดาว่าความรู้เกี่ยวกับ FD ของฉันยังไม่ได้รับการปรับปรุงมานานหลายปีแล้วและรู้สึกเหมือนเป็นของเก่าในตอนนี้

— Shuhao Cao

7

มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะแยกแยะความแตกต่างระหว่างอวกาศและแผนการชั่วคราว

องค์ประกอบไฟไนต์มักจะใช้ความแตกต่างอัน จำกัด เพื่อรวมเทอมชั่วคราว (เช่นออยเลอร์โดยชัดแจ้ง, Crank-Nicholson หรือ Runga Kutta สำหรับการแพร่กระจายชั่วคราว) และองค์ประกอบ จำกัด สำหรับการแยกเชิงพื้นที่

องค์ประกอบ จำกัด ให้ยืมตัวเองไปทางตาข่ายที่ผิดปกติ พวกเขาสามารถขึ้นอยู่กับหลักการแปรปรวน แต่พวกเขามักจะทั่วไปโดยใช้วิธีการตกค้างถ่วงน้ำหนัก มันง่ายในการพัฒนาห้องสมุดขององค์ประกอบที่ใช้คำสั่งพหุนามที่แตกต่างกันและบังคับใช้ข้อ จำกัด เช่นการบีบอัดโดยใช้ตัวคูณ Lagrange

สูตรทั้งสองเป็นวิธีการสิ้นสุด: แสดงสมการเชิงอนุพันธ์ในแง่ของระบบสมการและพีชคณิตเชิงเส้น

งบเกี่ยวกับความเร็วของวิธีหนึ่งมากกว่าอีกวิธีหนึ่งจะต้องผ่านการรับรองโดยอธิบายอัลกอริทึม ตัวอย่างเช่นการหล่อปัญหาเชิงกลเนื่องจากปัญหาการเปลี่ยนแปลงแบบไฮเพอร์โบลิกสามารถให้ผลลัพธ์ที่เร็วขึ้นในบางกรณีเพราะพวกเขาแทนที่เมทริกซ์การสลายตัวด้วยการคูณและการเพิ่ม

ฉันจะยอมรับว่าฉันรู้มากเกี่ยวกับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์มากกว่าที่ฉันทำแตกต่างกันแน่นอน FEM มีอยู่ในแพ็คเกจการค้าและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรมและสถาบันการศึกษาเพื่อแก้ปัญหาในกลศาสตร์ที่เป็นของแข็งและการถ่ายเทความร้อน ฉันเชื่อว่าความแตกต่างแน่นอนหรือวิธีปริมาณ จำกัด ใช้ในพลศาสตร์ของไหล

— duffymo
แหล่งที่มา

1

มีคนมากมายที่ทำ CFD กับ FEM :)

— Bill Barth

1

ตกลง ฉันจะยอมรับว่าฉันไม่มีความรู้สึกถึงความชุกของแต่ละเทคนิคในขณะนี้ ฉันอ้างอิงความคิดเห็นของฉันกับกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กมาก: เพื่อน ๆ ที่ทำงานด้าน CFD ในอุตสาหกรรม พวกเขาใช้ FD เป็นส่วนใหญ่

— duffymo