แหล่งดึงดูดของวิธีการของนิวตัน

9

วิธีการของนิวตันในการแก้สมการไม่เชิงเส้นเป็นที่ทราบกันว่ามาบรรจบกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อการเดาเริ่มต้นคือ "ปิดเพียงพอ" กับการแก้ปัญหา

"ปิดเพียงพอ" คืออะไร

มีวรรณกรรมเกี่ยวกับโครงสร้างของแหล่งท่องเที่ยวนี้หรือไม่?

iterative-method convergence nonlinear-equations

— เดวิดเคตเชสัน
แหล่งที่มา

รูตควรถูกแยกออก (ไม่ใช่หลาย ๆ ) หากรัฐ Hessian มีความชัดเจน (เว้าขึ้นหรือลง) อย่างสม่ำเสมอในภูมิภาคคุณควรไปได้ดี แน่นอนว่าการรับประกันหรือทดสอบเงื่อนไขเหล่านี้มักจะไม่สามารถปฏิบัติได้จริง

— hardmath

ฉันเห็นคำถามใน NA-Digest เมื่อวันก่อนและคิดว่ามันน่าสนใจ เห็นได้ชัดว่าฉันไม่ใช่คนเดียว :-)

— Wolfgang Bangerth

8

สำหรับสมการเหตุผลเดียวในโดเมนที่ซับซ้อนแหล่งดึงดูดคือแฟร็กทัลองค์ประกอบของชุดจูเลียที่เรียกว่า http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set สำหรับทฤษฎีที่มีตัวเลขออนไลน์ที่ดีให้ดูตัวอย่างเช่น
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf

แม้แต่ '' globalized '' วิธีการของนิวตันที่ทำให้หมาด ๆ สำหรับก็มีแหล่งของเศษส่วน ดูhttp://www.jstor.org/stable/10.2307/2653002 $x^3-1=0$

ดังนั้นจึงมีจุดเล็ก ๆ ในการระบุรายละเอียดว่า "ใกล้พอ" กับการแก้ปัญหาคืออะไร ถ้าใครรู้ขอบเขตของอนุพันธ์อันดับสองนั่นก็คือทฤษฎีบทของนิวตัน - กันโตโรวิชซึ่งให้ขอบเขตที่ต่ำกว่าในรัศมีของลูกบอลซึ่งวิธีการของนิวตันมาบรรจบกัน แต่ยกเว้นใน 1D สิ่งเหล่านี้มักจะมองโลกในแง่ร้าย

ขอบเขตที่มีประโยชน์เชิงคำนวณสามารถรับได้โดยใช้การคำนวณช่วงเวลา ดูเช่นกระดาษของฉัน
Shen Zuhe และ A. Neumaier, ผู้ดำเนินการ Krawczyk และทฤษฎีบทของ Kantorovich, J. Math ทางทวารหนัก Appl 149 (1990), 437-443
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

— อาร์โนลด์ Neumaier
แหล่งที่มา

มันมีเฉพาะในระนาบเชิงซ้อนที่

มีแหล่งเศษส่วนที่น่าสนใจ ในบรรทัดจริงการคาดเดาเริ่มต้น

จะทำ (เมื่อ

การบรรจบกันจะลดลงแบบ monontone และอัตรากำลังสองจะปรากฏขึ้นอย่างรวดเร็ว)

x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

— hardmath

1

@ ฮาร์ดแมท: ใช่ แต่สมการที่ซับซ้อนกลายเป็นสมการจริงสองตัวแปรใน 2 ตัวแปรซึ่งใช้เหมือนกัน

— Arnold Neumaier

4

"พอใกล้" เป็นเรื่องยากที่จะอธิบายลักษณะการพิจารณาว่าจะช่วยให้เกิดการเรียนของ fractals วิธีการของนิวตันด้วยกลยุทธ์โลกาภิวัตน์เช่นการค้นหาบรรทัดและภูมิภาคที่ไว้วางใจขยายขอบเขตแหล่งท่องเที่ยว หากโครงสร้างปัญหาเพิ่มเติมพร้อมใช้งานเช่นในการปรับให้เหมาะสมข้อสมมติฐานที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าอาจลดลงได้อีก

— เจดบราวน์
แหล่งที่มา

สำหรับความอยากรู้อยากเห็นคุณมีตัวอย่างสำหรับ "หากมีปัญหาโครงสร้างเพิ่มเติมเช่นในการปรับให้เหมาะสมสมมติฐานที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าอาจลดลงได้อีก"?

— vanCompute

@vanCompute ดูตัวอย่างนี้สำหรับตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับการปรับให้เหมาะสมที่ฟังก์ชันการทำงานของวัตถุให้ข้อมูลที่หายไปในเงื่อนไขการปรับให้เหมาะสมอันดับแรก อีกรูปแบบหนึ่งคือความรู้ที่ว่าความต่อเนื่องบางอย่าง (pseudotransient, พารามิเตอร์, grid, ฯลฯ ) จะถูกนำมารวมกันเสมอ แต่ส่วนที่เหลืออาจจะต้องเพิ่มขึ้นก่อนที่จะไปถึงทางออก

— Jed Brown

3

มีผลลัพธ์ที่มีประโยชน์สำหรับวิธีของนิวตันที่ใช้กับชื่อพหุนามที่ซับซ้อน

$f$

r = \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

แอนโธนีแมนนิ่งมีขอบเขตที่ชัดเจนอื่น ๆ ในการทำให้แน่ใจว่าจะค้นหารากของพหุนามที่ซับซ้อนโดยใช้วิธีของนิวตัน (ทฤษฎีบท 1.2)

ดูวิธีหารากของพหุนามที่ซับซ้อนโดยวิธีของนิวตัน โดยฮับบาร์ดและคณะ
คิดค้น. คณิตศาสตร์. 146 (2544), ลำดับที่ 1, 1–33 ไฟล์ PDF

— LHF
แหล่งที่มา

ที่ดัดแปลงมาจากmath.stackexchange.com/a/1038487/589

— lhf