การสลายตัวของค่าเฉพาะของผลรวม: A (สมมาตร) + D (แนวทะแยง)

สมมติว่าเป็นเมทริกซ์สมมาตรจริงและการสลายตัวของ eigenvalue จะได้รับ มันง่ายที่จะดูว่าเกิดอะไรขึ้นกับค่าลักษณะเฉพาะของผลรวมที่คือค่าคงที่สเกลาร์ (ดูคำถามนี้ ) เราสามารถวาดข้อสรุปใด ๆ ในกรณีทั่วไปโดยที่เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมตามอำเภอใจได้หรือไม่? ขอบคุณ $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

ความนับถือ,

อีวาน

linear-algebra

— อีวาน
แหล่งที่มา

คุณอาจจะได้คำตอบที่ดีกว่าถ้าคุณระบุประเภทของข้อสรุปที่คุณสนใจ.

— เดวิด Ketcheson

@DavidKetcheson ใช่คุณพูดถูก ที่จริงแล้วฉันกำลังพยายามหาวิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณลำดับของเลขชี้กำลังเมทริกซ์ของรูปแบบ

ที่

คงที่และ

เป็นเมทริกซ์แนวทแยง ฉันหวังว่าจะทำการสลายตัวไอเคิลแวร์ของ

เพียงครั้งเดียวจากนั้นใช้มันอย่างใดเพื่ออธิบายการแก้ไขที่แนะนำโดยเมทริกซ์แนวทแยง แต่น่าเสียดายที่และ

ยังไม่ได้เดินทางโดยทั่วไปดังนั้น

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ . ฉันจะขอบคุณถ้าคุณสามารถแบ่งปันความคิดเกี่ยวกับมัน ขอบคุณ

— อีวาน

เรื่องนี้เกี่ยวข้องกับscicomp.stackexchange.com/questions/503/…

— Geoffrey Irving

คำตอบ:

หนึ่งสามารถพูดได้น้อยมากยกเว้น generalities เช่นค่าลักษณะเฉพาะมีการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องกับรายการของD $D$

คุณสามารถดูได้จากการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ในกรณี 2 ต่อ 2 ที่ไม่สามารถคาดเดาสิ่งใดได้ดี

— อาร์โนลด์ Neumaier
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบฉันรู้ว่าฉันจะได้ยินอะไรแบบนี้ ฉันขอให้คุณดูความคิดเห็นของฉันด้านบนได้ไหม

— Ivan

ความซับซ้อนของการคำนวณเมทริกซ์เอกซ์โปเนนเชียลและการคำนวณการแยกตัวประกอบสเปกตรัมเป็นเรื่องเดียวกัน ดังนั้นไม่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาง่ายๆ อย่างไรก็ตามคุณสามารถทำอะไรได้บ้างในกรณีที่เมทริกซ์แนวทแยงของคุณอยู่ในพื้นที่ต่ำ lowD เพื่อคำนวณส่วนที่เกี่ยวข้องของเลขชี้กำลัง (หรืออะไรก็ตามที่คุณต้องการคำนวณจากนั้น) สำหรับตัวเลือกเฉพาะจำนวนหนึ่งที่กระจายอย่างดีในพื้นที่ของคุณ ของค่าที่ต้องการจากนั้นใช้อัลกอริทึมการแก้ไขเพื่อประมาณค่าอื่น ๆ ทั้งหมด

— Arnold Neumaier

ใช่ฉันรู้ว่าการสลายตัวทางสเปกตรัมไม่ถูกสิ่งที่ฉันหมายถึงคือถ้าจำเป็นต้องทำการแยกย่อยดังกล่าวเพียงครั้งเดียวสำหรับ

(เมื่อทำสิ่งนี้

เป็นเพียง

) และเลขชี้กำลังทั้งหมดด้วย

อาจได้มาจากการสลายตัวครั้งเดียวแล้วมันจะมีเหตุผลที่จะจ้างมัน มิฉะนั้นฉันค่อนข้างมั่นใจว่ามันเป็นการเสียเวลา ขอบคุณสำหรับคำแนะนำเกี่ยวกับการแก้ไขฉันต้องอ่านเรื่องนี้เล็กน้อย

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

— Ivan

D

$D$

Ming Gu และ Stanley C. Eisenstat ได้ศึกษาปัญหานี้มาก่อนดูลิงค์: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

บทความนี้แก้ปัญหาการเรียงสับเปลี่ยนอันดับหนึ่งซึ่งไม่สามารถแก้ปัญหาได้ที่นี่ หากใครพบปัญหาการเรียงสับเปลี่ยนอันดับก็ช่วยได้

— skyuuka
แหล่งที่มา

การเพิ่มเมทริกซ์แบบทแยงมุมไม่ใช่การแก้ไขอันดับหนึ่งดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่ากระดาษนี้ช่วยได้อย่างไรในกรณีนี้

— Christian Clason

@ChristianClason: ถูกต้อง! ฉันเพิ่งรู้ ขอบคุณที่ชี้นำ!

— skyuuka