เมทริกซ์เลขชี้กำลังของเมทริกซ์ Hamiltonian

ให้เป็นเมทริกซ์จตุรัสที่มีความหนาแน่นจริง และนั้นสมมาตร ปล่อย $A, G, Q$ $G$ $Q$

H = [\begin{matrix} A & - G \\ - Q & - A^{T} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

เป็นเมทริกซ์มิลโตเนียน ฉันต้องการที่จะคำนวณชี้แจงเมทริกซ์ของHฉันต้องการเลขชี้กำลังแบบเต็มเมทริกซ์ไม่เพียง แต่ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์เวกเตอร์ มีอัลกอริธึมหรือไลบรารีพิเศษใดบ้างที่พร้อมใช้งานในการคำนวณเลขชี้กำลังของเมทริกซ์มิลโตเนียน? $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— สูงสุดเบร์
แหล่งที่มา

คุณต้องการเมทริกซ์เลขชี้กำลังหรือคุณต้องการแก้ ODEหรือไม่?

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— Daniel Shapero

ฉันต้องการเมทริกซ์เอกซ์โปเนนเชียลเอง แต่เท่าที่ฉันสามารถแก้ ODEฉัน

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— Max Behr

โครงสร้างของ Benner ที่รักษา eigensolvers สามารถจัดการกับการแปลงความคล้ายคลึงเพื่อลดความซับซ้อนของเมทริกซ์เลขชี้กำลัง

— อ่าน

@RichardZhang วิธีที่โหดร้ายคือการสลายตัวของ QZ ตรวจสอบตัวอย่างที่เริ่มต้นจากlink.springer.com/article/10.1007/s002110050315สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

— percusse

กระดาษ19 วิธีที่น่าสงสัยในการคำนวณเลขชี้กำลังของเมทริกซ์, 25 ปีต่อมาครอบคลุมวิธีที่ไม่ดีจำนวนมาก (และดีอยู่สองสาม) ในการคำนวณเมทริกซ์เลขชี้กำลัง มันไม่ได้เป็นปัญหาเฉพาะของแฮมิลตัน แต่ก็มีค่ามากหากคุณกำลังทำงานกับปัญหาประเภทนี้

— Daniel Shapero

คำตอบ:

คำตอบที่รวดเร็วมาก ...

เลขชี้กำลังของเมทริกซ์มิลโตเนียนนั้นเป็น symplectic ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่คุณอาจต้องการรักษาไว้มิฉะนั้นคุณจะใช้วิธีการที่ไม่มีโครงสร้าง อันที่จริงไม่มีความได้เปรียบความเร็วที่แท้จริงในการใช้วิธีการแบบมีโครงสร้างเพียงแค่การรักษาโครงสร้าง

วิธีที่เป็นไปได้ในการแก้ปัญหาของคุณมีดังต่อไปนี้ ก่อนอื่นให้ค้นหาเมทริกซ์ symplectic เช่นว่าคือ Hamiltonian และบล็อกสามเหลี่ยมบนและมีค่าลักษณะเฉพาะในครึ่งระนาบด้านซ้าย คุณจะได้เมทริกซ์นี้เช่นโดยการโดยที่แก้สมการ Riccati ที่เกี่ยวข้องกับหรือ (มีเสถียรภาพมากขึ้นเนื่องจากมันเป็นฉากตั้งฉาก) โดยจัดเรียงการสลายตัว Schur ของและใช้ Laub หลอกลวง (เช่นแทนที่ Schur factor รวมด้วย $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$ ) คุณอาจมีปัญหาในการทำเช่นนั้นหาก Hamiltonian มีค่าลักษณะเฉพาะบนแกนจินตภาพ แต่นั่นเป็นเรื่องยาวและตอนนี้ฉันจะสมมติว่ามันไม่ได้เกิดขึ้นในปัญหาของคุณ

เมื่อคุณมีแล้วคุณจะมีและคุณสามารถคำนวณ ซึ่งแก้สมการ Lyapunov บางอย่างฉันเชื่อว่าบางสิ่ง (สัญญาณอาจไม่ถูกต้องกำหนดและขยายบล็อกเพื่อให้ได้สมการที่ถูกต้องค้นหา "วิธี Schur-Parlett" เพื่อการอ้างอิง เคล็ดลับนี้) $M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

ประสบการณ์ (\hat{H}) = [\begin{matrix} ประสบการณ์ (\hat{A}) & X \\ 0 & ประสบการณ์ (- {\hat{A}}^{T}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

\hat{A} X + X {\hat{A}}^{T} = - ประสบการณ์ (\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} ประสบการณ์ (- {\hat{A}}^{T})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

จากนั้นปัจจัยทั้งสามนี้จึงเป็นสมมาตรอย่างแท้จริง เพียงใช้แยกต่างหาก: อย่าคำนวณผลิตภัณฑ์มิฉะนั้นคุณจะสูญเสียคุณสมบัตินี้เป็นตัวเลข

— Federico Poloni
แหล่งที่มา

ขณะนี้ฉันกำลังทำมันแตกต่างกันเล็กน้อย ฉันใช้โซลูชัน spd ที่เสถียรของ ARE เพื่อตั้งค่าการแปลงความคุ้นเคยสำหรับและรับ เช่นเดียวกับในข้อเสนอแนะของคุณ จากนั้นให้แก้ปัญหาของ Lyap.eqnและตั้งค่า transf ความคล้ายคลึงกันครั้งที่สอง {bmatrix} ใช้สิ่งนี้กับและรับซึ่งบล็อกแนวทแยงมุมด้วยและเป็นบล็อก

H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

— Max Behr

$\mathcal H$

$A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ มาจากสมการอินทิกรัลซึ่งจะอธิบายโครงสร้างที่หนาแน่นและศักยภาพในการบีบอัด (ขึ้นอยู่กับเคอร์เนล)

$(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

$\mathcal H$

$\mathcal{H}$

$\mathcal H$ $\mathcal H$

ข้อเสียของวิธีการนี้:

$A$ $G$ $Q$
ไม่ใช้ประโยชน์จากโครงสร้าง Hamiltonian

บวก:

การแทนค่าการบีบอัดของเมทริกซ์เลขชี้กำลังแม้ว่ามันจะยังเป็นเมทริกซ์ไม่ใช่เพียงวิธีการทำ MVP
ความซับซ้อนเชิงเส้นลอการิทึม (หากมีข้อสันนิษฐานระดับต่ำ)
ห้องสมุดอาจใช้ประโยชน์จากการขนย้ายและสมมาตรในบล็อก

— Anton Menshov
แหล่งที่มา