แอปพลิเคชันกรณีใดบ้างที่มีเงื่อนไขการเสริมล่วงหน้าที่ดีกว่าตัวคูณ

12

ทั้งในการสลายตัวของโดเมน (DD) และ multigrid (MG) วิธีหนึ่งอาจเขียนแอพลิเคชันของการปรับปรุงบล็อกหรือแก้ไขหยาบเป็นทั้งสารเติมแต่งหรือคูณ สำหรับนักแก้จุดบกพร่องนี่คือความแตกต่างระหว่างการทำซ้ำ Jacobi และ Gauss-Seidel เรียบคูณสำหรับทำหน้าที่เป็นจะถูกใช้เป็น $Ax = b$ $S(x^{old}, b) = x^{new}$

$x_{i+1} = S_n(S_{n-1}( ..., S_1(x_i, b) ..., b), b)$

และสารเติมแต่งเรียบเนียนถูกนำไปใช้เป็น

$x_{i+1} = x_{i} + \displaystyle\sum_{\ell = 0}^{n}\lambda_\ell(S_\ell(x_i, b) - x_i)$

สำหรับบางหมาดฉันฉันทามติทั่วไปดูเหมือนจะเป็นว่า smoothers multiplicative มีคุณสมบัติการบรรจบกันอย่างรวดเร็วมากขึ้น แต่ฉันสงสัย: ภายใต้สถานการณ์ใดประสิทธิภาพของตัวแปรเพิ่มเติมของอัลกอริทึมเหล่านี้ดีกว่า? $\lambda_i$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งใครบ้างมีกรณีการใช้งานใด ๆ ที่ตัวแปรเพิ่มเติมควรและ / หรือทำงานได้ดีกว่าตัวแปรหลายตัวแปร? มีเหตุผลทางทฤษฎีสำหรับสิ่งนี้หรือไม่? วรรณกรรมส่วนใหญ่เกี่ยวกับ multigrid นั้นมองโลกในแง่ร้ายเกี่ยวกับวิธีการเติม แต่มันถูกใช้มากในบริบท DD เป็นสารเติมแต่ง Schwarz สิ่งนี้ขยายไปถึงปัญหาทั่วไปของการเขียนตัวแก้ปัญหาแบบเชิงเส้นและแบบไม่เชิงเส้นและประเภทของงานก่อสร้างจะทำงานได้ดีและทำงานได้ดีในแบบคู่ขนาน

— Peter Brune
แหล่งที่มา

6

วิธีการเสริมเปิดเผยการทำงานพร้อมกันมากขึ้น โดยทั่วไปแล้วจะเร็วกว่าวิธีการคูณหากคุณสามารถใช้การทำงานพร้อมกันนั้น ตัวอย่างเช่นระดับหยาบของ multigrid มักจะ จำกัด เวลาในการตอบสนอง หากคุณย้ายระดับหยาบไปยังชุมชนย่อยขนาดเล็กก็สามารถแก้ไขได้อย่างอิสระจากระดับปลีกย่อย ด้วยโครงร่างแบบทวีคูณ procs ทั้งหมดต้องรอในขณะที่ระดับหยาบจะถูกแก้ไข

นอกจากนี้หากอัลกอริทึมต้องการลดระดับทุกระดับตัวแปรเพิ่มเติมอาจรวมตัวกันได้โดยที่วิธีการคูณถูกบังคับให้ดำเนินการตามลำดับ

— เจดบราวน์
แหล่งที่มา

นี่คือคำตอบที่ฉันคิดว่าฉันจะได้รับดังนั้นฉันเดาว่าฉันจะไปไกลกว่านี้กับคำถาม มีสถานการณ์ที่ใช้วิธีการเพิ่มเติมรวมถึง DD และ MG แต่ยังรวมถึงการแบ่งฟิลด์ (ซึ่งอาจพิจารณาว่าคล้าย DD แต่อาจมีลักษณะที่แตกต่างกันในทางปฏิบัติ) หรือการแยก PDE นั้นดีกว่าในแง่ของประสิทธิภาพความทนทานหรือความมั่นคง

— Peter Brune

1

อัลกอริทึมหลายรุ่นหลายรุ่นต้องมีการจัดเก็บข้อมูลเพิ่มเติม แต่บางครั้งก็มาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว บางครั้งสารเติมแต่งอาจเป็นแบบสมมาตร แต่มันอาจจะทำงานได้มากขึ้นในการสร้างสมมาตรแบบหลายค่า ด้วย fieldplit ตัวสร้างเงื่อนไขล่วงหน้าสามารถเป็นค่าประมาณได้มากกว่าเมื่อคุณเพิ่มตัวแก้พิเศษเหล่านั้น เราสามารถสาธิตสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง PETSc Stokes หากคุณต้องการ สารเติมแต่งจะง่ายต่อการทำให้เป็นเวกเตอร์ / พร้อมกันมากขึ้น แต่ประสิทธิภาพการทำงานใด ๆ ที่ชนะจากที่เป็นปัญหาและสถาปัตยกรรมเฉพาะ

— Jed Brown

5

สำหรับวิธีการแก้ปัญหา SPD นั้นดีกว่าสำหรับการทำให้เรียบ MG ด้วยเหตุผลหลายประการดังที่กล่าวมาแล้วและอีกไม่กี่:

@Article{Adams-02, 
author = {Adams, M.~F. and Brezina, M. and Hu, J. J. and Tuminaro, R. S.}, 
title = {Parallel multigrid smoothing: polynomial versus {G}auss-{S}eidel}, 
journal = {J. Comp. Phys.}, 
year = {2003}, 
volume = {188}, 
number = {2}, 
pages = {593-610} }

วิธีการหลายอย่างทำให้มีคุณสมบัติทางสเปกตรัมที่ถูกต้องตรงไปตรงมาสำหรับ MG ที่ราบรื่นนั่นคือพวกมันไม่จำเป็นต้องทำให้หมาด ๆ นี่อาจเป็นชัยชนะที่ยิ่งใหญ่สำหรับปัญหาไฮเพอร์โบลิกซึ่งการทำให้ราบเรียบพหุนามไม่ดีมาก

— อดัมส์
แหล่งที่มา

0

ฉันจะพูดซ้ำในสิ่งที่ @Jed พูดว่า: วิธีการ Multiplicative จะรวมกันอย่างน้อยรวมถึงวิธีการเติม (asymptotically) ดังนั้นคุณจะชนะโดยขึ้นอยู่กับการทำงานพร้อมกัน แต่ขึ้นอยู่กับสถาปัตยกรรม

— Matt Knepley
แหล่งที่มา

ไม่ถูกต้องทางเทคนิคสเปกตรัมของการทำซ้ำเพื่อบอกว่า Gauss-Seidel นั้นไม่ได้ยอดเยี่ยมกว่า Jacobi (เช่น eigenvalue เดียวถูกฆ่าโดยการทำซ้ำ Jacobi หนึ่งครั้ง) ทำเครื่องหมาย (ฉันจะออกจากระบบในฐานะ Jed ... ) ได้อย่างไร

— Jed Brown