การกู้คืนจำนวนจินตภาพของการวิเคราะห์ต่อเนื่องจากส่วนจริง

สถานการณ์ของฉัน

ฉันมีฟังก์ชั่นของตัวแปรเชิงซ้อนนิยามผ่านอินทิกรัลที่ซับซ้อน สิ่งที่ฉันสนใจคือค่าของฟังก์ชั่นนี้ในแกนจินตภาพ ฉันมีการเข้าถึงตัวเลขฟังก์ชั่นนี้บนริบบิ้นต่อไปนี้: ]การแสดงออกที่สมบูรณ์เป็นทางการแตกต่างนอกโดเมนนี้และดังนั้นฉันต้องการการวิเคราะห์ต่อเนื่อง เพื่อสรุปสถานการณ์ของฉันในภาพ $f(z)$ $z=(x,y)\in (-\infty,\infty)\times[-1,1]$

นี่คือสิ่งที่ฉันรู้เกี่ยวกับบนริบบิ้นนี้จากตัวเลข: $f(z)$

มันมีความสมมาตรพร้อมกันเกี่ยวกับแกนจินตภาพและแกนจริง
มันสูญสลายไปที่ศูนย์ที่ ∞ $Re(z)\rightarrow\infty$
มันพัดขึ้นมาใกล้ฉันมันอาจเป็นเสาหรือจุดแตกกิ่งผมไม่รู้ ฉันสงสัยว่าธรรมชาติของความแปลกประหลาดนี้ (และอาจจะทั้งหมดเอกบางแห่งอื่น ๆ ของความต่อเนื่องการวิเคราะห์) ขึ้นอยู่กับเฉพาะ parameterization ของฟังก์ชันนี้ (ดูหนึ่งรายละเอียดด้านล่าง) $z=\pm i$ $\xi$

ในความเป็นจริงมันดูคล้ายกับหรือเมื่อทำการลงจุด นี่คือพล็อตของส่วนที่แท้จริง: $\text{sech}^2(z)$ $1/(1+z^2)^{2n}$

คำถามของฉันคือจากจำนวนข้อมูลที่ฉันมีเกี่ยวกับฟังก์ชั่น (การเข้าถึงตัวเลขทั้งหมดบน ribbon นั้น) มีวิธีใดบ้างที่ฉันจะคำนวณการประมาณตัวเลขของฟังก์ชันนี้ตามแกนจินตภาพหรือไม่? ฉันใช้ Mathematica ตามวิธี

เหตุผลที่ฉันสนใจค่าตามแกนจินตภาพคือเพราะฉันต้องการประเมินการแปลงฟูริเยร์ต่อไปนี้ของฟังก์ชันนี้:

\begin{matrix} (1) & \bar{f} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} d x e^{i t x} \frac{1}{x^{2} + x_{0}^{2}} f (x) \end{matrix}

$\bar{f}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{itx}\frac{1}{x^2+x^2_0} f(x) \tag{1}$

$t$ $10$

สิ่งที่ฉันได้ลอง

ฉันพยายามที่จะคำนวณอินทิกรัลความผันผวนสูงขั้นสุดท้าย eq (1) การประเมิน eq (1) สำหรับค่าเดียวของ 't' ใช้เวลาสองสามชั่วโมงในการคำนวณ ฉันได้ดำเนินการอินทิกรัลเหล่านี้ไปเล็กน้อยแล้วและผลลัพธ์ก็สมเหตุสมผลดี แต่ฉันต้องการแนวทางอื่น
$\text{sech}^2(z)$ $z$
ฉันได้ลองผสานรวมสัญลักษณ์เข้ากับสิ่งที่ไม่เป็นประโยชน์แล้ว ฉันได้ลองนวดอินทิเกรตและกลายเป็นรูปแบบย่อยได้มากขึ้นสำหรับ Mathematica แต่ความพยายามของฉันยังไม่สำเร็จ

อินทิกรัลที่ละเมิด

$k_4$ $k_{\perp}$ $\xi$ $\alpha$ $E$ $z$

\begin{aligned} p_{1}^{2} & = {(k_{4} + \frac{1}{2} E)}^{2} + k_{⊥}^{2} + α^{2} \\ p_{2}^{2} & = {(k_{4} - \frac{1}{2} E)}^{2} + k_{⊥}^{2} + (1 - α)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} p_1^2&=\left(k_4+\frac{1}{2}E\right)^2+k_{\perp}^2+\alpha^2\\ p_2^2&=\left(k_4-\frac{1}{2}E\right)^2+k_{\perp}^2+(1-\alpha)^2 \end{align}$

อินทิกรัลที่ฉันสนใจมีดังต่อไปนี้:

\begin{aligned} f (E; α, ξ) & = \int_{- \infty}^{\infty} d k_{4} \int_{0}^{\infty} d (k_{⊥}^{2}) [\frac{α (1 + p_{1}^{2})^{3 ξ / 2} (1 + p_{2}^{2})^{ξ / 2}}{(1 + p_{1}^{2} (1 + p_{1}^{2})^{2 ξ}) (1 + p_{2}^{2} (1 + p_{2}^{2})^{2 ξ})} + + (p_{1} \leftrightarrow p_{2})] \end{aligned}

$\begin{align} f(E;\,\alpha,\xi)&=\int_{-\infty}^{\infty} dk_4 \int_{0}^{\infty} d(k_{\perp}^2)\left[\frac{\alpha (1+p_1^2)^{3\xi/2}(1+p_2^2)^{\xi/2}}{(1+p_1^2(1+p_1^2)^{2\xi})(1+p_2^2(1+p_2^2)^{2\xi})}+\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+(p_1\leftrightarrow p_2)\right] \end{align}$

$\xi=1,2,3$ $0<\alpha<1$ $t~10$

integration mathematica complex-analysis

— อาร์ตูโรดอนฮวน
แหล่งที่มา

R + 0.99 i

$\mathbb{R}+0.99\mathrm{i}$

\bar{f}

$\bar f$

f

$f$

f

$f$

\bar{f}

$\bar f$

\bar{f}

$\bar{f}$

\bar{f}

$\bar{f}$

α \in [- 1, 2]

$\alpha\in [-1,2]$

0.1

$0.1$

ฉันเขียนมันขึ้นมา แต่ฉันค้นพบปัญหาเกี่ยวกับรหัสของฉันดังนั้นฉันจึงไม่แน่ใจอีกต่อไปว่าสิ่งที่ฉันคำนวณถูกต้อง คุณมีค่าอ้างอิงที่ใช้ได้จริงหรือไม่?

— คิริลล์

หมายเหตุ: ฉันค่อนข้างกังวลในจุดนี้ที่ค่าอินทิกรัลศาสตร์มาให้ฉันเป็นของปลอม ฉันคิดว่ามันใช้งานได้เพราะมันให้ผลลัพธ์ที่ดูสมเหตุสมผลในเวลาอันสั้น แต่อาจเป็นกรณีที่วิธีการใช้งานนั้นมีความบิ่นหรือว่าฉันทำอะไรผิดไป ดังนั้นอาจเป็นไปได้ว่ารหัสด้านล่างไม่ทำงานเลยฉันไม่รู้ขออภัย

หมายเหตุ 2: มันรบกวนฉันดังนั้นฉันจึงเขียนรุ่นอื่น ( รหัสที่นี่ขออภัยเกี่ยวกับคุณภาพของรหัส) โดยใช้ Julia และ GSL และประเมินgใน 2 วินาทีกับคำตอบเดียวกับที่ Mathematica ให้ไว้ด้านล่าง ดังนั้นฉันคิดว่ารหัสน่าจะโอเค

$f$ $\bar f$

ประสบการณ์ที่ผ่านมาของฉันกับการรวมเชิงตัวเลขทำให้ฉันเชื่อว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่นักเล่นบางครั้งอาจมีประโยชน์อย่างน่าประทับใจ แต่การประเมินการแปลงฟูริเยร์เชิงตัวเลขและการรวมฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลและพีชคณิต ทำให้ความคืบหน้าง่ายขึ้นโดยการเลือกอัลกอริทึมอย่างระมัดระวังและเล่นกับพารามิเตอร์ของพวกเขา นี่เป็นตัวเลือกที่ง่ายกว่าถ้ายากที่จะดูว่าจะทำให้เทคนิคทางคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร

ClearAll[ξ, α, p1, p2, fi, f, g];
ξ = 1;
α = 1/2;
fi[e_, k4_, kp_] := Module[{
   p1 = (k4^2 + e/2)^2 + kp^2 + α^2,
   p2 = (k4^2 - e/2)^2 + kp^2 + (1 - α)^2},
  2 * (* because integrate k4 over (0,∞) *)
   2 kp * (* because d(kp^2) *)
   (α (1 + p1)^(3 ξ/2) (1 + p2)^(ξ/2)) /
     ((1 + p1 (1 + p1)^(2 ξ)) (1 + p2 (1 + p2)^(2 ξ)))
  ]
f[e_?NumericQ] := NIntegrate[
   fi[e, k4, kp], {k4, 0, ∞}, {kp, 0, ∞},
   Method -> {Automatic, "SymbolicProcessing" -> 0}];

(* !!! This gives a bogus result: *)
gBogus[t_?NumericQ, e0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[
  Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, -∞, ∞}, 
  Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
    "SymbolicProcessing" -> 0}]

(* This gives *a* result, different from above despite being equivalent *)
g[t_?NumericQ, e0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, -\[Infinity], 0}, 
   Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
     "SymbolicProcessing" -> 0},
   EvaluationMonitor :> Print["e=", e]] +
  NIntegrate[Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, 0, \[Infinity]}, 
   Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
     "SymbolicProcessing" -> 0},
   EvaluationMonitor :> Print["e=", e]]

ผลลัพธ์:

In[18]:= Timing@g[10,1]
Out[18]= {78.0828, 0.0000704303 + 9.78009*10^-6 I}

In[338]:= Timing@g[1,1]
Out[338]= {14.3125,0.389542 +0.024758 I}

ฉันทำให้ Mathematica ใช้เวลาเป็นศูนย์ในการประมวลผลอินทิกรัลอย่างมีนัยสำคัญเพราะในกรณีนี้มันจะไม่สามารถหาอะไรที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับมันได้ ฉันยังบอกให้ใช้วิธีการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยเฉพาะสำหรับอินทิกรัลที่สอง

ฉันเดาว่าทำไมการเล่นซอกับกลยุทธ์บูรณาการ (ดูNIntegrateIntegrationStrategies ) ทำงานเลยคือบางครั้ง Mathematica อาจเลือกกลยุทธ์ที่ไม่ดีโดยอัตโนมัติโดยไม่ได้ตั้งใจฆ่าประสิทธิภาพในขณะที่สิ่งใดก็ตามที่ฉันขอให้ทำ คุณสามารถลองขอความช่วยเหลือได้ที่https://mathematica.stackexchange.comพวกเขาอาจรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการฝึกงานภายในของ Mathematic

— คิริลล์
แหล่งที่มา

k_{4}

$k_4$

- \infty

$-\infty$

\infty

$\infty$

0

$0$

\infty

$\infty$ g[t,e0]

f

$f$

E

$E$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

E \leftrightarrow - E

$E\leftrightarrow -E$

k_{4}

$k_4$

2 \times

$2\times$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

p_{1} \leftrightarrow p_{2}

$p_1\leftrightarrow p_2$

E

$E$

p_{1, 2}

$p_{1,2}$

k_{4}

$k_4$

@ArturodonJuan ฉันคิดว่ามันไม่ได้แตกต่างกันอย่างแท้จริงกับคำตอบที่ได้ผลเพียงตัวเลขเท่านั้นที่จะเปลี่ยน

— คิริลล์