เสถียรภาพเชิงตัวเลขของพหุนาม Zernike ลำดับสูงขึ้น

ฉันพยายามคำนวณลำดับที่สูงขึ้น (เช่นm=0, n=46) ช่วงเวลา Zernike สำหรับภาพบางภาพ อย่างไรก็ตามฉันพบปัญหาเกี่ยวกับพหุนามเรเดียน (ดูวิกิพีเดีย ) นี่คือพหุนามที่กำหนดในช่วงเวลา [0 1] ดูรหัส MATLAB ด้านล่าง

function R = radial_polynomial(m,n,RHO)
    R = 0;
    for k = 0:((n-m)/2)        
        R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ...
            ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ...
            .*RHO.^(n-2.*k);
    end
end

RHO > 0.9แต่นี้เห็นได้ชัดว่าวิ่งเข้าไปในปัญหาตัวเลขที่อยู่ใกล้กับ

ฉันลองปรับโครงสร้างใหม่เพื่อpolyvalคิดว่าอาจมีอัลกอริทึมที่ดีกว่าเบื้องหลัง แต่ก็ไม่ได้แก้อะไรเลย การแปลงเป็นการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ได้สร้างกราฟที่ต้องการ แต่ช้ามากแม้กระทั่งกราฟที่เรียบง่ายเช่นที่แสดง

มีวิธีที่มีเสถียรภาพเชิงตัวเลขในการประเมินชื่อพหุนามที่มีลำดับสูงเช่นนี้หรือไม่?

ในบทความนี้ Honarvar และ Paramesran ได้รับวิธีการที่น่าสนใจในการคำนวณพหุนาม Zernike เรเดียนในแบบเรียกซ้ำที่ดีมาก สูตรการเรียกซ้ำตรงไปตรงมาอย่างน่าประหลาดใจโดยไม่มีการหารหรือการคูณด้วยจำนวนเต็มขนาดใหญ่:

สิ่งนี้ถูกนำไปใช้ในสคริปต์อ็อกเทฟต่อไปนี้:

clear                                     % Tested with Octave instead of Matlab
N = 120;
n_r = 1000;
R = cell(N+1,N+1);
rho = [0:n_r]/n_r;
rho_x_2 = 2*[0:n_r]/n_r;

R{0+1,0+1} = ones(1,n_r+1);               % R^0_0  Unfortunately zero based cell indexing is not possible
R{1+1,1+1} = R{0+1,0+1}.*rho;             % R^1_1  ==>  R{...+1,...+1} etc.
for n = 2:N,
    if bitget(n,1) == 0,                  % n is even
        R{0+1,n+1} = -R{0+1,n-2+1}+rho_x_2.*R{1+1,n-1+1};                % R^0_n
        m_lo = 2;
        m_hi = n-2;
    else
        m_lo = 1;
        m_hi = n-1;
    end
    for m = m_lo:2:m_hi,
        R{m+1,n+1} = rho.*(R{m-1+1,n-1+1}+R{m+1+1,n-1+1})-R{m+1,n-2+1};  % R^m_n
    end
    R{n+1,n+1} = rho.*R{n-1+1,n-1+1};                                    % R^n_n
end;


Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);
m = 22;
n = 112;
figure
plot(rho,Z(m,n,rho))
hold on
plot(rho,R{m+1,n+1},'r');
xlabel("rho")
ylabel("R^{22}_{112}(rho)")
legend("via Jacobi","recursive");
%print -djpg plt.jpg

m = 0;
n = 46;
max_diff_m_0_n_46 = norm(Z(m,n,rho)-R{m+1,n+1},inf)

ตัวอย่างเช่นตัวเลขที่ผลิตโดยรหัสนี้แสดงให้เห็นว่าด้วย $m = 22$และ $n = 112$การยกเลิกหายนะเกิดขึ้นใกล้ $\rho = 0.7$ถ้ามีการคำนวณพหุนามเรเดียนของ Zernike ผ่านพหุนาม Jacobi ดังนั้นเราจึงต้องกังวลเกี่ยวกับความถูกต้องของพหุนาม Zernike ระดับต่ำกว่า

วิธีการเรียกซ้ำดูเหมือนว่าจะเหมาะสมกว่าสำหรับการคำนวณโพลิโนมิล Zernike ที่มีลำดับสูงกว่าเหล่านี้ในลักษณะที่เสถียร อย่างไรก็ตามสำหรับ$m = 0$ และ $n = 46$ความแตกต่างสูงสุดระหว่าง Jacobi และวิธีการเรียกซ้ำคือ (เท่านั้น) 1.4e-10ซึ่งอาจแม่นยำเพียงพอสำหรับการสมัครของคุณ

ทางออกที่เป็นไปได้ (แนะนำโดย @gammatester) คือการใช้ชื่อพหุนาม Jacobi ปัญหานี้ทำให้เกิดปัญหาการยกเลิกหายนะในการเพิ่มสัมประสิทธิ์พหุนามขนาดใหญ่โดยการประเมินพหุนามไร้เดียงสา

พหุนาม Zernike เรเดียลสามารถแสดงได้โดยพหุนาม Jacobi ดังนี้ (ดูสมการ (6) )

อย่างไรก็ตามใน MATLAB การใช้งานjacobiP(n,a,b,x)ช้าx=rhoเกินไปสำหรับเวกเตอร์ / เมทริกซ์ขนาดใหญ่ที่ยอมรับไม่ได้ jacobiPฟังก์ชั่นเป็นจริงส่วนหนึ่งของสัญลักษณ์กล่องเครื่องมือและการประเมินผลของพหุนามจะรอให้เครื่องยนต์สัญลักษณ์ซึ่งธุรกิจการค้าความเร็วเพื่อความแม่นยำโดยพลการ การดำเนินการด้วยตนเองของชื่อพหุนาม Jacobi จึงจำเป็น

เนื่องจากพารามิเตอร์ของฟังก์ชัน Jacobi นั้นเป็นค่าลบทั้งหมด ($\alpha=m$, $\beta=0$, $n^*=(n-m/2)$) เราสามารถใช้นิพจน์ต่อไปนี้ (ดูWikipediaโปรดทราบว่าฉันเติมค่าไว้สำหรับ$s$)

ใน MATLAB นี่แปลว่า (Jacobi p olice d epartment P olynomial การใช้ ' D oub')

function P = jacobiPD(n,a,b,x)
    P = 0;
    for  s  0:n
        P = P + ...
            1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) * ...
            ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s;
    end
    P = P*factorial(n+a) * factorial(n+b);
end

พหุนาม Zernike รัศมีจริงจึง (สำหรับm=abs(m))

Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);

หมายเหตุ: คำตอบด้วยตนเองนี้เป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ; แท็กคำตอบอื่นที่อธิบายว่าทำไมจึงทำงานได้อย่างอิสระ