เหตุผลที่ LAPACK ใช้คืออะไร

9

ประจำ QR ของ LAPACK เก็บ Q เป็นเจ้าของบ้านสะท้อนแสง มันชั่งเวกเตอร์การสะท้อนกลับ $v$ กับ $1/v_1$ ดังนั้นองค์ประกอบแรกของผลลัพธ์จึงกลายเป็น $1$ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องจัดเก็บ และมันเก็บแยกต่างหาก $\tau$ เวกเตอร์ซึ่งมีปัจจัยขนาดที่ต้องการ เมทริกซ์ตัวสะท้อนแสงจึงเป็นดังนี้:

H = I - τ v v^{T},

$H=I-\tau v v^T,$

ที่ไหน $v$ ไม่ได้ทำให้ปกติ ในขณะที่ในตำราเรียนเมทริกซ์สะท้อนแสงคือ

H = I - 2 v v^{T},

$H = I-2vv^T,$

ที่ไหน $v$ ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน

ทำไมขนาด LAPACK $v$ กับ $1/v_1$ แทนที่จะทำให้เป็นมาตรฐาน

พื้นที่เก็บข้อมูลที่จำเป็นเหมือนกัน (แทนที่จะเป็น $\tau$ , $v_1$ จะต้องมีการจัดเก็บ) และหลังจากนั้นจึงนำไปใช้ $H$ สามารถทำได้เร็วขึ้นเนื่องจากไม่จำเป็นต้องคูณด้วย $\tau$ การคูณด้วย $2$ ในเวอร์ชันตำราเรียนสามารถปรับให้เหมาะสมถ้าแทนของการปรับสภาพง่าย $v$ ถูกปรับอัตราส่วนโดย $\sqrt 2/\|v\|$ )

(เหตุผลของคำถามของฉันคือฉันกำลังเขียนชุดคำสั่ง QR และ SVD และฉันต้องการทราบเหตุผลของการตัดสินใจนี้ไม่ว่าฉันจะต้องทำตามหรือไม่)

linear-algebra matrix lapack

— ซ่า
แหล่งที่มา

7

เป็นตัวแปรที่ถูกบล็อกของ Householder-QR ที่ผลักดันการออกแบบนี้ ถ้าคุณดูในหนังสือของ Golub และ Van Loan (Ch 5.2 หรือมากกว่านั้น) พวกเขาพูดถึงวิธีที่ k-iterations ของอัลกอริทึมสามารถถูกบล็อกด้วยกันโดยการสะสมตัวสะท้อนแต่ละตัวลงในตัวสะท้อนอันดับ -k ของรูปแบบที่ทั้งและเป็น "สูงผอม" เมทริกซ์ที่มีขนาดk อัลกอริทึมนี้ใช้งานได้มากกว่า แต่เร็วกว่าในทางปฏิบัติเพราะมันอุดมด้วยการเรียก gemm () น่าเสียดายที่สิ้นเปลืองในการจัดเก็บเนื่องจากต้องการแสดงและอย่างอิสระ $\mathbf I + \mathbf W \mathbf Y^{\mathrm T}$ $\mathbf W$ $\mathbf Y$ $n \times k$ $\mathbf W$ $\mathbf Y$

ในกระดาษต่อมา (อ้างถึงด้านล่าง) แวนกู้อธิบายมีประสิทธิภาพมากขึ้น "symmetrized" โครงสร้างข้อมูลสะท้อนบล็อกของแบบฟอร์มT} ที่นี่ยังคงแต่ความต้องการฟลอพ / หน่วยเก็บข้อมูลสำหรับการสร้างได้ถูกกำจัดโดยการแนะนำ ,ขนาดเล็กเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมบน แม้ว่าจะต้องคูณโดยเปิดตัวจำนวนเล็ก ๆ ของการทำงานพิเศษก็มักจะมีกำไรสุทธิเพราะn $\mathbf I + \mathbf Y \mathbf T \mathbf Y^{\mathrm T}$ $\mathbf Y$ $n \times k$ $\mathbf W$ $\mathbf T$ $k \times k$ $\mathbf T$ $k << n$

ภายใน LAPACK ขั้นตอนวิธีการที่ไม่ถูกปิดกั้นเป็นจริงเพียง จำกัดกรณีของอัลกอริทึมบล็อกทุกทางลงไปที่ทางเลือกของสัญลักษณ์ (ซึ่งนำเราไปสู่น้อยรุ่นของสามเหลี่ยม ) $k \rightarrow 1$ $\tau$ $1\times1$ $\mathbf T$

การอ้างอิง: ไกร์เบอร์โรเบิร์ตและชาร์ลส์แวนสินเชื่อ "การเป็นตัวแทน WY ของสตอเรจที่มีประสิทธิภาพสำหรับผลิตภัณฑ์ที่มีการเปลี่ยนเจ้าของ" วารสารสยามเกี่ยวกับการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และสถิติ 10.1 (1989): 53-57

— rchilton1980
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! ฉันไม่เห็นว่าเป็นเพียง -sizedT ในกระดาษที่อ้างถึงในอัลกอริทึม 5,คือและคือ -2 ดังนั้นมันจึงกลายเป็นเวอร์ชั่นตำราไม่ใช่รุ่น LAPACK ฉันพลาดอะไรไปหรือเปล่า?

τ

$\tau$

1 \times 1

$1 \times 1$

T

$\mathbf T$

Y

$\mathbf Y$

v

$v$

T

$\mathbf T$

— geza

2

คุณไม่ต้องเก็บคุณสามารถคำนวณซ้ำได้จากส่วนที่เหลือของเวกเตอร์ (คุณสามารถคำนวณจากรายการอื่น ๆ ได้ในเวอร์ชันปกติ แต่เป็นการคำนวณที่ไม่เสถียรเนื่องจากการลบเหล่านั้น) $\tau$ $v_1$

ที่จริงแล้วคุณสามารถใช้ชิ้นส่วนรูปสามเหลี่ยมด้านล่างของเพื่อเก็บเพื่อให้การคำนวณการแยกตัวประกอบดำเนินการอย่างเต็มที่ Lapack ให้ความสำคัญกับการทำงานของอัลกอริธึมรุ่นนี้ $R$ $v_2,...v_n$

— Federico Poloni
แหล่งที่มา

1

คำแนะนำของฉันอยู่บนพื้นฐานของเอกสารสำหรับ Intel MKL https://software.intel.com/en-us/mkl-developer-reference-c-geqrf ดูเหมือนว่าค่าบนและสูงกว่าเส้นทแยงมุมของเอาท์พุทสโตร์ R ดังนั้นจึงเหลือเพียงสามเหลี่ยมล่างสำหรับ Q. ดูเหมือนว่าเป็นธรรมชาติที่จะใช้ที่เก็บข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับปัจจัยการปรับสเกล

— VorKir
แหล่งที่มา